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Definition Abbildung


Schule

Es seien X und Y zwei beliebige Mengen.
Eine eindeutige Zuordnung der Elemente aus X zu den Elementen aus Y heißt Abbildung.


Bemerkungen

Die Menge X heißt Definitionsbereich und Y Wertebereich.
Eine Funktion ist eine spezielle Abbildung mit dem Wertebereich $ \IR $ oder $ \IC $.


Universität

X und Y seien Mengen, $ F\subseteq X\times Y $ eine Relation
Ist F linksvollständig und rechtseindeutig, dann nennt man das Tripel $ f:=(X,Y,F) $ eine Abbildung.

Definition aus dem Meyberg:

$ X,\,Y $ seien Mengen. Ein Tripel $ f=(X,Y,F) $ heißt eine Abbildung von $ X $ in $ Y $ (oder eine Funktion auf $ X $ mit Werten in $ Y $), wenn gilt:

($ A_1 $) $ F  \subseteq X \times Y $
($ A_2 $) Zu jedem $ x \in X $ gibt es genau ein $ y \in Y $ mit $ (x,y) \in F $.

$ F $ heißt der Graph, $ X $ die Quelle oder der Definitionsbereich, $ Y $ das Ziel oder der Wertevorrat von $ f $.

Das durch $ x $ eindeutig bestimmte Element $ y $ mit $ (x,y) \in F $ wird meist mit $ f(x) $ bezeichnet. Also

$ y=f(x) \ \Leftrightarrow \ (x,y) \in F $.

Folgende Schreibweisen für eine Abbildung $ f=(X,Y,F) $ werden verwendet:

$ f:X \to Y $ oder $ X \stackrel{f}{\to} Y $,

wenn man über $ F $ nichts Näheres zu wissen braucht, andernfalls fügt man hinzu

$ y:=f(x) $ oder $ f:x \mapsto y $ (lies: "$ f $ bildet $ x $ auf $ y $ ab").

Bemerkung:

Die "klassische" Definition einer Abbildung, etwa so "Eine Abbildung $ f $ von $ X $ nach $ Y $ ist eine Vorschrift, die jedem Element $ x \in X $ eindeutig ein Element $ y=f(x) $ aus $ Y $ zuordnet", ist natürlich in obiger Definition verarbeitet. Da aber ein Tripel ein besseres mathematisches Objekt ist als eine Vorschrift, zieht man heute die erste Definition vor. Die Vorschrift allerdings bleibt doch in konkreten Fällen erhalten, nämlich in der Beschreibung von $ F $. Auch wir werden sehr oft zu prüfen haben, ob eine durch eine gewisse Vorschrift definierte Teilmenge $ F \subseteq X \times Y $ auch wirklich eine Abildung $ f=(X,Y,F) $ definiert, Dazu muss man prüfen, ob jedes Element von $ X $ auch als erste Komponente eines Elementes aus $ F $ vorkommt (das ist meist trivial zu sehen) und, was wichtiger ist, dass $ (x,y) \in F $ und $ (x,y') \in F $ nur für $ y=y' $ möglich ist. In anderer Schreibweise sieht das so aus:

$ x=x' \quad \Leftrightarrow \quad f(x) = f(x') $.

Abbildungen $ f(X,Y,F) $ und $ f'=(X',Y',F') $ sind genau dann gleich, wenn $ X=X' $, $ Y=Y' $ und $ F=F' $ gilt; d.h. wenn Quelle, Ziel und Graph übereinstimmen. Insbesondere

$ F=F' $

$ \Leftrightarrow $ (Für alle $ x \in X $ gilt: $ (x,y) \in F \ \Leftrightarrow \ (x,y) \in F' $)

$ \Leftrightarrow $ $ f(x) =f'(x) $ für alle $ x \in X $.

D.h. Abbildungen $ f:X \to Y $ und $ f' : X' \to Y' $ sind genau dann gleich, wenn $ X=X' $, $ Y=Y' $ und $ f(x) = f'(x) $ für alle $ x \in X $ gilt.

Ist $ f=(X,Y,F) $ eine Abbildung und $ Y \subseteq Y' $, dann ist offensichtlich $ f'=(X,Y',F) $ ebenfalls eine Abbildung. Ist $ f $ injektiv, so auch $ f' $. Hingegen ist $ f' $ im Falle $ Y \ne Y' $ niemals surjektiv, auch wenn $ f $ surjektiv ist. Dennoch möchte man zwischen $ f $ und $ f' $ keinen wesentlichen Unterschied machen. Man nennt Abbildungen $ f=(X,Y,F) $ und $ g=(A,B,G) $ im wesentlichen gleich, wenn $ X=A $ und $ F=G $ gilt, d.h. $ X=A $ und $ f(x)=g(x) $ für alle $ x \in X $. Wenn Missverständnisse ausgeschlossen sind, schreibt man auch hierfür $ f=g $.

Eine gegebene Abbildung $ f:X \to Y $ kann man auf Teilmengen von $ X $ beschränken. Sei $ U \subseteq X $, dann heißt

$ f\vert_U $: $ U \to Y $, $ f\vert_U(x)=f(x) $ für alle $ x \in U $,

die Restriktion von $ f $ auf $ U $. Es ist $ f\vert_U =f $ nur für $ U=X $.

Die Abbildung $ Id:X \to X $, $ Id(x)=x $, wird als Identität (auf $ X $) bezeichnet. Wenn nötig, schreibt man hierfür auch $ Id_X $.

Seien $ f=(X,Y,F) $, $ g=(Y,Z,G) $ Abbildungen und $ x\in X $. Man definiert eine Teilmenge $ G\circ F \subseteq X \times Z $ durch

$ (x,y) \in G \circ F $ $ :\Leftrightarrow $ $ (x,y) \in F $ und $ (y,z) \in G $.

Dann ist $ (X,Z,G \circ F) $ eine Abbildung, da $ y $ durch $ x $ und $ z $ durch $ y $ eindeutig bestimmt sind, und somit $ z $ durch $ x $ eindeutig bestimmt ist. Diese Abbildung wird mit $ g \circ f $ ($ g $ komponiert mit $ f $) bezeichnet und heißt das Kompositum (oder Produkt) von $ f $ und $ g $. In anderer Schreibweise sieht das so aus:

Für $ X \stackrel{f}{\to} Y \stackrel{g}{\to} Z $ ist $ g \circ f:X \to Z $ definiert durch

$ (g \circ f)(x):=g(f(x)) $ für alle $ x \in X $.

Ist $ h: Z \to A $ eine weitere Abbildung, dann gilt:

$ h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f $,

denn Quelle und Ziel sind gleich und für alle $ x \in X $ gilt:

$ [h \circ (g \circ f)](x) = h(g(f(x))) = [(h \circ g) \circ f](x) $.

Sei $ f: X \to Y $ eine Abbildung und $ U \subseteq X $. Die Menge

$ f(U):=\{f(x)\, \vert  \, x \in U\} $

heißt das $ f $-Bild von $ U $. Das $ f $-Bild von $ X $, $ f(X) $, wird als $ Bild(f) $ bezeichnet. Für eine Teilmenge $ V \subseteq Y $ nennt man die Menge

$ f^{-1}(V):=\{x \in X\, \vert\, f(x) \in V\} $

das $ f $-Urbild von $ V $. Es gelten die folgenden Rechenregeln:

$ A,B \subseteq X \ \Rightarrow \ \left\{ \begin{array}{ccc} f(A \cup B) & = & f(A) \cup f(B)\\[5pt] f(A \cap B)&  \subseteq & f(A) \cap f(B) \end{array} \right. $

$ U,V \subseteq Y \ \Rightarrow \ \left\{ \begin{array}{ccc} f^{-1}(U \cup V) &= & f^{-1}(U) \cup f^{-1}(V)\\[5pt] f^{-1}(U \cap V) & = & f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V) \end{array} \right. $


Quelle: isbn3446130799



Mögliche Eigenschaften spezieller Abbildungen

;additiv:
;alternierend (siehe Determinantenfunktion):
;biholomorph:
;bijektiv:
;bilinear:
;differenzierbar:
;epimorph:
;gleichmäßig stetig:
;holomorph:
;homomorph:
;idempotent: $ f:\ X\to Y $ heißt idempotent $ \gdw $ $ f(x)=(f\circ f)(x) $ für alle $ x\in X $ bzw. $ f(x)=f(\;f(x)\;) $ für alle $ x\in X $
;identisch:
;injektiv:
;integrierbar:
;isomorph:
;komplexwertig:
;konstant:
;leer:
;linear:
;multilinear:
;offen:
;reellwertig:
;selbstähnlich:
;semilinear:
;sequilinear:
;stetig:
;stetig differenzierbar:
;surjektiv:
;symmetrisch:
;umkehrbar:

Erstellt: So 07.11.2004 von Marc
Letzte Änderung: So 22.10.2006 um 16:11 von Marc
Weitere Autoren: informix, Stefan
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