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Sigma-Algebra

Definition $ \sigma $-Algebra


Universität

Ein System $ \cal A $ von Teilmengen einer Menge $ \Omega $ heißt eine $ \sigma $-Algebra (in $ \Omega $), wenn es folgende Eigenschaften besitzt:

  1. $ \Omega\in\cal A $;
  2. $ A\in\cal A\rm\ \Rightarrow\ \complement A\in\cal A $;
  3. für jede Folge $ (A_n)_{n\in\IN} $ von Mengen aus $ \cal A $ liegt $ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n $ in $ \cal A $.

Zum Vergleich siehe Ring, Algebra, Dynkin-System

"Duale" Eigenschaften einer $ \sigma $-Algebra

  1. $ \emptyset\in\cal A $
  2. für jede Folge $ (A_n)_{n\in\IN} $ von Mengen aus $ \cal A $ liegt $ \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n $ in $ \cal A $

Beispiele von $ \simga $-Algebren:

  • $ \Omega $ beliebige Menge: $ \mathcal{P}(\Omega) $ (dabei $ \mathcal{P}(\Omega) $ Potenzmenge von $ \Omega $)
  • $ \Omega $ beliebige Menge: $ \left\{A\subset\Omega\ |\ A\mbox{ oder } \complement A\mbox{ abzählbar}\right\} $
  • $ \Omega,\Omega' $ Mengen, $ \mathcal{A}' $ $ \sigma $-Algebra in $ \Omega' $, $ T:\Omega\to\Omega' $ Abbildung: $ T^{-1}(\mathcal{A}'):=\left\{T^{-1}(A')\ :\ A'\in\mathcal{A}'\right\} $ ist $ \sigma $-Algebra

Quelle: isbn3110136252

Erstellt: Fr 21.10.2005 von Marc
Letzte Änderung: Mo 19.05.2008 um 15:05 von Marc
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