www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Konvergenz
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Konvergenz

Definition Grenzwert

Eine Zahl g heißt Grenzwert der Zahlenfolge $ (a_n)_{n \in \IN} $,
wenn nach Vorgabe irgendeiner positiven (kleinen) Zahl $ \epsilon $ fast alle Folgenglieder die Ungleichung $ |a_n - g| < \epsilon $ erfüllen.

"Fast alle" bedeutet dabei, dass es nur endlich viele Ausnahmen gibt.

Analog dazu spricht man auch vom Grenzwert einer Funktion


$ \lim_{0 \not=h \to 0} f(x_0 + h) $,

dabei stellt man sich vor, dass man feststellen möchte, welchen (festen) Wert f an der Stelle $ x_0 $ annimmt, obwohl man $ f(x_0) $ nicht ausrechnen kann, weil vielleicht $ x_0 $ nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehört.
(siehe auch Differenzenquotient, stetig )


Anders gesagt:
In jeder noch so kleinen Umgebung von g liegen "fast alle" Folgenglieder.

Man schreibt dann: $ \lim_{n \to \infty}a_n = g $ .

Wenn eine Folge einen Grenzwert besitzt, dann nennt man sie konvergent.

In mathematischen Symbolen:
Sei $ (a_n)_{n \in \IN} $ eine Zahlenfolge. Dann heißt $ (a_n)_{n \in \IN} $ konvergent, falls:

$ \exists g: $ $ \forall \varepsilon>0: $ $ \exists N=N_{\varepsilon}: $ $ \forall n > N: $ $ |a_n-g|<\varepsilon $.

Wenn sie keinen Grenzwert besitzt, nennt man sie divergent.

(Bemerkung: Die Folge $ (a_n)_{n \in \IN} $ heißt also divergent (oder nicht konvergent),
falls:
$ \forall d: $ $ \exists \varepsilon=\varepsilon_d>0: $ $ \forall N' \in \IN: $ $ \exists n' > N': $ $ |a_{n'}-d\,|\ge \varepsilon $.)


Bemerkungen.

1.) Folgen, die als Grenzwert 0 haben, nennt man Nullfolgen.

2.) Eine (reell- oder komplexwertige) Folge $ (a_n)_n $ konvergiert genau dann, wenn es ein $ g\, $ in $ \IR $ so gibt, dass $ (a_n-g)_n $ (oder $ (g-a_n)_n $) eine Nullfolge ist.

Insbesondere gilt: Genau dann gilt $ a_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}g\,, $ wenn $ a_n-g \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}0 $ (bzw. $ g-a_n \underset{n \to \infty}{\longrightarrow}0 $).

3.) Es sei (X,d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Folge $ (x_n)_{n \in \IN} $ in X konvergent, falls:

$ \exists x \in X: $ $ \forall \varepsilon>0: $ $ \exists N=N_{\varepsilon}: $ $ \forall n > N: $ $ d(x_n,x)<\varepsilon $.

Hierbei heißt $ x \in X $ der Grenzwert der Folge $ (x_n)_{n \in \IN} $ und ist eindeutig bestimmt, denn:

Seien $ x_1,x_2 \in X $ Grenzwerte der Folge $ (x_n)_{n \in \IN} $ in X und es sei $ \varepsilon>0 $ gegeben. Wir setzen $ \varepsilon':=\frac{\varepsilon}{2} $.

Dann existiert ein $ N'=N'_{\varepsilon'} $, so dass gilt:
$ (\star) $ $ d(x_n,x_1)<\varepsilon' $ $ \forall n>N' $.

Weiter existiert ein $ N''=N''_{\varepsilon'} $, so dass gilt:

$ (\star \star) $ $ d(x_n,x_2)<\varepsilon' $ $ \forall n>N'' $.

Also gilt für alle $ n > max\{N';N''\} $:

$ d(x_1,x_2) \le d(x_1,x_n)+d(x_n,x_2)\stackrel{(\star),(\star \star)}{<} \varepsilon'+\varepsilon'=2\cdot{}\varepsilon'=2\cdot{}\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon $.
Da $ \varepsilon>0 $ beliebig war, folgt:
$ d(x_1,x_2)=0 $ und damit $ x_1=x_2 $.            $ \Box $

(Ergänzung zu dem Beweis:

$ (\star \star \star) $Wenn für $ x_1,x_2 \in X $ gilt, dass für alle $ \varepsilon>0 $ die Ungleichung $ d(x_1,x_2)<\varepsilon $ erfüllt ist, dann folgt daraus, dass $ x_1=x_2 $ gilt.

Denn:

Es gelte $ (\star \star \star) $ und angenommen, es wäre $ x_1\not=x_2 $. Dann folgt:

$ d(x_1,x_2)>0 $. Wir setzen $ \varepsilon':=\frac{d(x_1,x_2)}{2}>0 $ und erhalten:

$ \varepsilon'=\frac{d(x_1,x_2)}{2}<d(x_1,x_2) $. Mit anderen Worten:

Wir haben ein $ \varepsilon'>0 $ gefunden, so dass $ d(x_1,x_2)>\varepsilon' $ gilt im Widerspruch zu $ (\star \star \star) $.    $ \Box $)

siehe auch: Grenzwertsätze

Erstellt: Fr 01.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Mo 09.08.2010 um 07:39 von Marcel
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]