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| Aufgabe | A(p):= [mm] \pmat{ 0 & 1 & p \\ 1 & 0 &-1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
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hallo an alle !
für die gegebene Matri soll ich nun die komplexe JNF angeben habe aber nicht die geringste Ahnung wie ich da vorgehen soll; aus dem Skript werde ich nicht schlau;
was muss ich denn für die komplexe JNF alles berechnen?
danke schon mal für die hilfe
lg
chrissi
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Hallo chrissi2709,
> A(p):= [mm]\pmat{ 0 & 1 & p \\ 1 & 0 &-1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
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> hallo an alle !
>
> für die gegebene Matri soll ich nun die komplexe JNF
> angeben habe aber nicht die geringste Ahnung wie ich da
> vorgehen soll; aus dem Skript werde ich nicht schlau;
> was muss ich denn für die komplexe JNF alles berechnen?
Berechne zunächst das charakteristische Polynom der obigen Matrix.
Daraus erhältst Du dann die Eigenwerte dieser Matrix.
>
> danke schon mal für die hilfe
>
> lg
>
> chrissi
Gruss
MathePower
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Danke, dass habe ich schon, aber was genau fange ich dann damit an?
mein charakteristisches Polynom ist. [mm] -\lambda^3 [/mm] +p
und erhalte somit den EW : [mm] \wurzel[3]{p}
[/mm]
und wie mache ich da weiter?
lg
chrissi
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Hallo Christina,
> Danke, dass habe ich schon, aber was genau fange ich dann
> damit an?
>
> mein charakteristisches Polynom ist. [mm]-\lambda^3[/mm] +p
> und erhalte somit den EW : [mm]\wurzel[3]{p}[/mm]
Hmm, du hattest doch im Ausgangspost etwas von komplexer JNF geschrieben.
Die Gleichung [mm] $\lambda^3=p$ [/mm] hat (für [mm] $p\neq [/mm] 0$) neben [mm] $\lambda=\sqrt[3]{p}$ [/mm] noch zwei weitere Lösungen in [mm] $\IC$ [/mm] ...
>
> und wie mache ich da weiter?
Berechne die Eigenräume zu den Eigenwerten und deren Dimensionen und bei Bedarf entsprechend Haupräume/-vektoren
> lg
>
> chrissi
LG
schachuzipus
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Irgendwie steh ich grad aufm Schlauch;
aber ich finde da keine komplexen Lösungen, weil ich ja nich weiß was p ist;
ich kann ja für p nicht einfach i oder [mm] i^2 [/mm] ensetzen;
also was für Lösungen sollen denn da raus kommen?
lg
chrissi
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Hallo chrissi2709,
> Irgendwie steh ich grad aufm Schlauch;
> aber ich finde da keine komplexen Lösungen, weil ich ja
> nich weiß was p ist;
> ich kann ja für p nicht einfach i oder [mm]i^2[/mm] ensetzen;
> also was für Lösungen sollen denn da raus kommen?
Aus der Kenntnis, daß [mm]\lambda_{1}=\wurzel[3]{p}[/mm] eine Lösung ist,
kannst Du den Grad des Polynoms auf 2 reduzieren
und so die noch 2 fehlenden Lösungen ermitteln.
Berechne also mit Hilfe der Polynomdivison:
[mm]\left(\lambda^{3}-p\right):\left(\lambda-\wurzel[3]{p}\right)= ... [/mm]
und löse dann die entstehende quadratische Gleichung.
>
> lg
>
> chrissi
Gruß
MathePower
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also wenn ich die polynomdiv. durhführe erhalte ich:
für [mm] -\lambda^3 [/mm] + p:
[mm] -\lambda^2 [/mm] - [mm] \lambda*\wurzel[3]{p} [/mm] - p + [mm] \bruch{ p - p*\wurzel[3]{p}}{ \lambda - \wurzel[3]{p}}
[/mm]
davon kann ich aber die p-q-formel aber noch nich anwenden, weil die polynomdiv nicht aufgeht, oder?
lg
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Hallo chrissi2709,
> also wenn ich die polynomdiv. durhführe erhalte ich:
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> für [mm]-\lambda^3[/mm] + p:
> [mm]-\lambda^2[/mm] - [mm]\lambda*\wurzel[3]{p}[/mm] - p + [mm]\bruch{ p - p*\wurzel[3]{p}}{ \lambda - \wurzel[3]{p}}[/mm]
>
> davon kann ich aber die p-q-formel aber noch nich anwenden,
> weil die polynomdiv nicht aufgeht, oder?
Die Polynomdivision muß aufgehen,
da [mm]\lambda=\wurzel[3]{p}[/mm] eine Lösung von [mm]-\lambda^{3}+p=0[/mm] ist.
>
> lg
Gruss
MathePower
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Danke ja hab mich beim letzten mal einfach nur verrechnet bzw hatte einen denkfehler drin;
aber für die JNF muss ich doch die Eigenvektoren ausrechenen, um zu sehen wie viele von ihnen lin unabh. sind und finde somit die [mm] V_{geo} [/mm] rauszufinden, um die JNF dann aufzustellen;
ist die Vorgehensweise korrekt oder stimmt da was nicht?
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Hallo chrissi2709,
> Danke ja hab mich beim letzten mal einfach nur verrechnet
> bzw hatte einen denkfehler drin;
>
> aber für die JNF muss ich doch die Eigenvektoren
> ausrechenen, um zu sehen wie viele von ihnen lin unabh.
> sind und finde somit die [mm]V_{geo}[/mm] rauszufinden, um die JNF
> dann aufzustellen;
Bevor Du Eigenvektoren ausrechnen kannst, benötigst Du die Eigenwerte,
die Du jetzt gefunden hast.
> ist die Vorgehensweise korrekt oder stimmt da was nicht?
Die Vorgehensweise ist korrekt.
Gruß
MathePower
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Danke für die Hilfe und wenn ich n och weitere Fragen habe melde ich mich nochmal
lg
chrissi
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hi
sitze an der gleichen aufgabe. man soll zu dieser matrix neben der komplexen auch die reelle JNF bestimmen. die komplexe habe ich, aber wie stelle ich eine reelle JNF auf? ich habe im reellen fall ja nur einen eigenwert [mm] $p^{1/3}$
[/mm]
und das charakteristische polynom ist bei mir
[mm] $(x-p^{\frac{1}{3}}) [/mm] * [mm] ((x+\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}})^2 [/mm] + [mm] \frac{3}{4}p^{\frac{2}{3}})$
[/mm]
wie muss ich hier jetzt weiter vorgehen? wie beim komplexen fall auch, also dimension der kerne berechnen? aus'm skript werd ich da nicht schlau...
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hi
sitze an der gleichen aufgabe. man soll zu dieser matrix neben der komplexen auch die reelle JNF bestimmen. die komplexe habe ich, aber wie stelle ich eine reelle JNF auf? ich habe im reellen fall ja nur einen eigenwert [mm] $p^{1/3}$
[/mm]
und das charakteristische polynom ist bei mir
[mm] $(x-p^{\frac{1}{3}}) [/mm] * [mm] ((x+\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}})^2 [/mm] + [mm] \frac{3}{4}p^{\frac{2}{3}})$
[/mm]
wie muss ich hier jetzt weiter vorgehen? wie beim komplexen fall auch, also dimension der kerne berechnen? aus'm skript werd ich da nicht schlau...
edit: sorry für doppelpost, ist aber ne frage, keine mitteilung...
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Hallo GreatBritain,
> hi
>
> sitze an der gleichen aufgabe. man soll zu dieser matrix
> neben der komplexen auch die reelle JNF bestimmen. die
> komplexe habe ich, aber wie stelle ich eine reelle JNF auf?
> ich habe im reellen fall ja nur einen eigenwert [mm]p^{1/3}[/mm]
> und das charakteristische polynom ist bei mir
>
> [mm](x-p^{\frac{1}{3}}) * ((x+\frac{1}{2}p^{\frac{1}{3}})^2 + \frac{3}{4}p^{\frac{2}{3}})[/mm]
>
> wie muss ich hier jetzt weiter vorgehen? wie beim komplexen
> fall auch, also dimension der kerne berechnen? aus'm skript
> werd ich da nicht schlau...
>
Die Kerne und deren Dimension hast Du ja schon ausgerechnet.
Es gibt ein paar Arten, wie aus der komplexen JNF eine reelle JNF gemacht werden kann.
Die Eigenvektoren zu den Eigenwerten hast Du sicherlich schon berechnet.
Zu einem komplexen Eigenwert [mm]\lambda[/mm] ist [mm] c=a+ib, \ a,b \in \IR^{2}[/mm] der Eigenvektor.
Zu dem konjugiert komplexen Eigenwert ist demnach [mm]\overline{c}=a-ib[/mm] der Eigenvektor.
Dann ist [mm]a, \ b [/mm] eine R-Basis.
Daraus ergibt sich dann der verallgemeinerte elementare Jordanblock zu
[mm]\pmat{\alpha & -\beta \\ \beta & \ \alpha}[/mm]
,wobei [mm]\lamba=\alpha+i*\beta[/mm] der komplexe Eigenwert ist.
Daneben gibt es auch noch andere Arten.
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> edit: sorry für doppelpost, ist aber ne frage, keine
> mitteilung...
Gruß
MathePower
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Schaut mal hier, ich hab dieselbe Aufgabe, jaja die Welt ist klein, Erlangen auch :D
https://matheraum.de/read?t=556785&v=c
btw: Ist jemand am Donnerstag beim Andreas Heidt in der Übung?
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danke - hatte es aber inzwischen auch schon selbst raus gekriegt 
nee, bin nicht beim andreas 
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