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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier eine Klausuraufgabe:
Es seien [mm] G\subset\IC [/mm] ein Gebiet und [mm] f:G\to\IC [/mm] eine holomorphe Funktion. Zeigen Sie: Die Funktionen u=Re f und v=Im f sind harmonisch in G.
So, nun habe ich mit allem, was quasi gegeben ist, irgendwie rumgerechnet, alles mal durcheinander gewurschtelt und dann meiner Meinung nach das richtige rausbekommen. Allerdings glaube ich, dass man es auch etwas strukturierter machen kann und wahrscheinlich ein bisschen kürzer. Ich schreibe mal, was man alles direkt weiß, und vielleicht kann mir das jemand "kurz" beweisen?
für holomorphe Funktionen gilt:
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{x}} [/mm] = [mm] -i\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{y}} [/mm] = [mm] i\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}
[/mm]
Nun ist f=u+iv, also ist u=f-iv und somit:
[mm] \bruch{\partial{u}}{\partial{x}} [/mm] = [mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{x}}-i\bruch{\partial{v}}{\partial{x}}
[/mm]
und dann:
[mm] \bruch{\partial^2{u}}{\partial{x}^2} [/mm] = [mm] \bruch{\partial^2{f}}{\partial{x}^2}-i\bruch{\partial^2{v}}{\partial{x}^2}
[/mm]
Nun kann man noch [mm] \bruch{\partial^2{f}}{\partial{x}^2} [/mm] berechnen und dann irgendwie alles verwurschteln. Aber wie gesagt: geht's auch kurz und knapp und strukturiert?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Bastiane!
> Es seien [mm]G\subset\IC[/mm] ein Gebiet und [mm]f:G\to\IC[/mm] eine
> holomorphe Funktion. Zeigen Sie: Die Funktionen u=Re f und
> v=Im f sind harmonisch in G.
>
> So, nun habe ich mit allem, was quasi gegeben ist,
> irgendwie rumgerechnet, alles mal durcheinander
> gewurschtelt und dann meiner Meinung nach das richtige
> rausbekommen. Allerdings glaube ich, dass man es auch etwas
> strukturierter machen kann und wahrscheinlich ein bisschen
> kürzer. Ich schreibe mal, was man alles direkt weiß, und
> vielleicht kann mir das jemand "kurz" beweisen?
>
> für holomorphe Funktionen gilt:
>
> [mm]\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}[/mm] =
> [mm]-i\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}[/mm] =
> [mm]i\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}[/mm]
>
> Nun ist f=u+iv, also ist u=f-iv und somit:
>
> [mm]\bruch{\partial{u}}{\partial{x}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}-i\bruch{\partial{v}}{\partial{x}}[/mm]
>
> und dann:
>
> [mm]\bruch{\partial^2{u}}{\partial{x}^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial^2{f}}{\partial{x}^2}-i\bruch{\partial^2{v}}{\partial{x}^2}[/mm]
>
> Nun kann man noch [mm]\bruch{\partial^2{f}}{\partial{x}^2}[/mm]
> berechnen und dann irgendwie alles verwurschteln. Aber wie
> gesagt: geht's auch kurz und knapp und strukturiert?
Mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen folgt es doch eigentlich sofort:
Cauchy-Riemann: [mm] $\bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial v}{\partial y}$ [/mm] und [mm] $\bruch{\partial u}{\partial y}=-\bruch{\partial v}{\partial x}$
[/mm]
Nun berechne ich die zweiten partiellen Ableitungen, und zwar von der linken Gleichung nach x und der rechten nach y:
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{\partial^2 u}{\partial^2 x}=\blue{\bruch{\partial^2 v}{\partial y\partial x}}$ [/mm] und [mm] $\bruch{\partial^2 u}{\partial^2 y}=-\blue{\bruch{\partial^2 v}{\partial x\partial y}}$
[/mm]
Es ist natürlich [mm] $\blue{\bruch{\partial^2 v}{\partial y\partial x}=\bruch{\partial^2 v}{\partial x\partial y}}$, [/mm] also:
[mm] $\Rightarrow$ $\bruch{\partial^2 u}{\partial^2 x}=-\bruch{\partial^2 u}{\partial^2 y}$
[/mm]
woraus die Behauptung folgt (für [mm] $u=\textrm{Re} [/mm] f$).
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Du hättest auch einfach schreiben können, dass ja bekanntlich (wie in der Vorlesung gezeigt, via 3. Binomischer Formel  )
[mm] $\Delta [/mm] f = 4 [mm] \partial \bar{\partial} [/mm] f=0$
für jede holomorphe Funktion $f$ gilt. (Eine Funktion ist ja bekanntlich genau dann harmonisch, wenn Real- und Imaginärteil es sind.)
Liebe Grüße
Stefan
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