Klausuraufgabe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier noch eine Klausuraufgabe, mit der ich so ziemlich gar nichts anfangen konnte:
Gegeben seien eine Konstante [mm] c=a+ib\in\IC [/mm] und eine holomorphe Funktion [mm] f:\IC\to\IC [/mm] mit f(x)=ax+ibx für alle [mm] x\in\IR. [/mm] Wie lautet dann f(iy) für [mm] y\in\IR [/mm] und warum?
Also, ich hab zuerst den Sinn dieser Aufgabe nicht verstanden, und einfach mal geschrieben:
f(iy)=aiy+ib(iy)=aiy-by
Ich wüsste zwar nicht, warum das falsch sein sollte, aber das war mit der Aufgabe wohl nicht gemeint! Aber was dann? Ich habe noch versucht, irgendwas mit der Holomorphie von f zu machen, aber ich wusste damit nichts rechtes anzufangen. Ob mir jemand helfen kann? Und wofür ist eigentlich diese Konstante c gut???
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Sa 16.07.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Bastiane
> Gegeben seien eine Konstante [mm]c=a+ib\in\IC[/mm] und eine
> holomorphe Funktion [mm]f:\IC\to\IC[/mm] mit f(x)=ax+ibx für alle
> [mm]x\in\IR.[/mm] Wie lautet dann f(iy) für [mm]y\in\IR[/mm] und warum?
>
> Also, ich hab zuerst den Sinn dieser Aufgabe nicht
> verstanden, und einfach mal geschrieben:
> f(iy)=aiy+ib(iy)=aiy-by
>
> Ich wüsste zwar nicht, warum das falsch sein sollte, aber
> das war mit der Aufgabe wohl nicht gemeint! Aber was dann?
> Ich habe noch versucht, irgendwas mit der Holomorphie von f
> zu machen, aber ich wusste damit nichts rechtes anzufangen.
> Ob mir jemand helfen kann? Und wofür ist eigentlich diese
> Konstante c gut???
Die Funktion f bildet also die reelle Achse auch die Gerade $c*x$ ab. Nach dem Identitätssatz ist f aks holomorphe Funktion auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] eindeutig bestimmt, deswegen macht die Fragestellung schon mal Sinn 
Jetzt sehe ich zwei Wege:
1.) Du vermutest, dass $f(z)=c*z$ [mm] $\forall z\in\IC$. [/mm] Das hast du ja auch in etwa bereits gemacht, indem du $iy$ einfach mal eingesetzt hattest.
Jetzt musst du aber doch noch zeigen, dass diese Funktion tatsächlich holomorph ist.
2.) Da die Einschränkung von $f$ auf [mm] $\IR$ [/mm] gegeben ist, kannst du [mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}|_{\IR}$ [/mm] berechnen. Mit den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen folgt dann sofort auch [mm] $\bruch{\partial f}{\partial y}|_{\IR}$. [/mm] Damit kennen wir $f'$ auf den beiden Koordinatenachsen, und es dürfte nicht mehr schwierig sein, daraus [mm] $f|_{i*\IR}$ [/mm] zu ermitteln.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Mo 18.07.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Die Frage ist schon richtig beantwortet, aber ich will noch einmal kurz schreiben, wie du es in der Klausur am besten (oder zumindestens mit voller Punktzahl versehen ) hättest schreiben müssen:
Die beiden holomorphen Funktionen $f$ und $g$, definiert durch $g(z)=(a+ib)z$ (ist offenbar holomorph, da eine Polynomfunktion), stimmen nach Voraussetzung auf der reellen Achse überein. Daher sind sie nach dem Indentitätssatz auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] identisch, und folglich gilt:
$f(iy) = g(iy) = (a+ib)iy= aiy - by$.
Liebe Grüße
Stefan
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