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Hallo liebe Mathefreunde,
ich bin auch mal wieder hier  . Hab in letzter Zeit viel für den MSA in Mathe geübt und dabei blieben mir noch ein paar Fragen bezüglich von Funktionen offen.
Beispielsweise bei dieser Aufgabe hier:
f(x)= [mm] \wurzel{9-x^{2}} [/mm]
Ich versteh nicht ganz, wie ich den grösstmöglichen Definitionsbereich aussuchen soll. Es kommen ja schliesslich nur lösungen des Intervalls von -3 bis +3 vor, was wir auch vermerkt haben. Aber der Grösstmögliche Definitionsbereich lautet R, die rationalen zahlen.
Wie kann kommt man darauf?
Meine letzte Frage. Ich habe von Punktsymmetrie und Achsensymmetrie gehört und auch schon gelesen und es sicher auch schon mal gelernt. Leider fehlt mir jetzt dieses Wissen. Ich habe gelesen, wenn f(x) = f(-x) ist, dann ist sie achsensymmertisch... weiss es aber nicht mehr genau und das versteh ich auch nicht wirklioch. Wäre sehr dankbar, wenn mir wer von euch diese Sachen anschaulich erklären könnte!!!
Vielen Dank im Voraus!
Grüsse
WaterofLife
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Hallo!
> Beispielsweise bei dieser Aufgabe hier:
> f(x)= [mm]\wurzel{9-x^{2}}[/mm]
>
> Ich versteh nicht ganz, wie ich den grösstmöglichen
> Definitionsbereich aussuchen soll. Es kommen ja
> schliesslich nur lösungen des Intervalls von -3 bis +3
> vor, was wir auch vermerkt haben. Aber der Grösstmögliche
> Definitionsbereich lautet R, die rationalen zahlen.
>
> Wie kann kommt man darauf?
Das wüsste ich jetzt aber auch gerne. Wer sagt das denn? Wenn du Zahlen außerhalb des Intervalls [-3;3] einsetzt, bekommst du doch die Wurzel einer negativen Zahl, und so etwas macht man in der Regel erst an der Uni... Aber vielleicht liegt es an der Definition von "maximaler Definitionsbereich"? Habt ihr das irgendwie definiert?
> Meine letzte Frage. Ich habe von Punktsymmetrie und
> Achsensymmetrie gehört und auch schon gelesen und es sicher
> auch schon mal gelernt. Leider fehlt mir jetzt dieses
> Wissen. Ich habe gelesen, wenn f(x) = f(-x) ist, dann ist
> sie achsensymmertisch... weiss es aber nicht mehr genau und
> das versteh ich auch nicht wirklioch. Wäre sehr dankbar,
> wenn mir wer von euch diese Sachen anschaulich erklären
> könnte!!!
Genau - für Achsensymmetrie gilt f(x)=f(-x). Eigentlich kann man sich das ganz einfach vorstellen. Du weißt sicher, wie die Normalparabel aussieht, und dass sie achsensymmetrisch ist. Wenn du dir jetzt einen beliebigen (positiven) x-Wert aussuchst, z. B. x=1 und dir dann den "zugehörigen" negativen x-Wert suchst (also hier jetzt x=-1), stellst du fest, dass der Funktionswert bei beiden gleich ist (nämlich [mm] f(1)=1^2=1=(-1)^2=f(-1)). [/mm] Wenn du das jetzt für andere beliebige x-Werte machst, stellst du fest, dass das immer so ist. Es ist immer der Funktionswert des x-Wertes gleich dem Funktionswert des negativen x-Wertes. Und das ist genau das, was f(x)=f(-x) "wörtlich" bedeutet.
Bei Punktsymmetrie ist das ähnlich. Allerdings gilt hier: f(x)=-f(-x). Du nimmst dir also erstmal wieder ein x und berechnest f(x). Dann nimmst du das zugehörige "negative x", also z. B. x=2 und x=-2 und berechnest f(-x) (also f(2) und f(-2)). Und dann schaust du, ob die beiden vom Betrag her gleich sind, aber das Vorzeichen anders ist. Also ob gilt: f(2)=-f(-2). Und wenn das für alle x gilt, dann ist die Funktion punktsymmetrisch.
So, und wenn du das jetzt für eine Funktion untersuchen sollst, dann musst du das allgemein machen. Nehmen wir als Beispiel: [mm] f(x)=x^3+2x^2+5x-4. [/mm] f(x) ist gegeben, wir müssen uns also kein spezielles x aussuchen. f(-x) berechnen wir auch allgemein, das machen wir, indem wir überall statt x ein -x einsetzen. (VORSICHT: am besten um -x Klammern drum machen, das ist wichtig beim Potenzieren!!!) Also:
[mm] f(-x)=(-x)^3+2(-x)^2+5(-x)-4
[/mm]
das können wir noch vereinfachen zu:
[mm] f(-x)=-x^3+2x^2-5x-4
[/mm]
Ist dir das klar? Naja, und jetzt sehen wir, dass schon mal nicht gilt: f(x)=f(-x), denn diese beiden "Funktionen" sind offenbar nicht gleich: [mm] x^3+2x^2+5x-4\not=-x^3+2x^2-5x-4.
[/mm]
Wollen wir jetzt noch Punktsymmetrie prüfen, dann müssen wir vor den ganzen Term f(-x) noch ein Minus setzen (auch hier wieder an die Klammern denken!):
[mm] -f(-x)=-(-x^3+2x^2-5x-4)
[/mm]
das können wir auch noch vereinfachen:
[mm] -f(-x)=x^3-2x^2+5x+4
[/mm]
Und nun sehen wir, dass auch die Bedingung für die Punktsymmetrie nicht gilt:
[mm] -x^3+2x^2-5x-4\not=x^3-2x^2+5x+4
[/mm]
Alles klar nun? Ich hoffe, ich habe mich nirgendwo vertippt...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hi,
danke für deine ausfürhlichje Antwort! Zum ersten meinte ich, dass man nur diese Werte innerhalb des Intervalls einsetzen kann. Das ist mir auch klar, nur ich weiss nicht, wie man den grössmölglichen definitionsbereich bestimmen kann, weil da gibt es ja so einige, beispielsweise die menge der natürlichen zahlen.....
Das mit dem Umformen hab ich glaube ich verstanden! Nur am Ende deine Schlussfolgerung verstehe ich nicht ganz... Wenn ich dann die beiden Funktionen vergleiche, seh ich das dort die Vorzeichen anders sind als bei der anderen. Aber dann sind die Funktionen doch immer gleich, oder? Du musst entschuldigen; ich hatte das mit Punktsymmetrie etc. nie wirklich durchgenommen, sondern es wurde immer nur kurz angeschnitten -unverständlicherweise.
Grüsse
WaterofLife
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Hallo!
> Das mit dem Umformen hab ich glaube ich verstanden! Nur am
> Ende deine Schlussfolgerung verstehe ich nicht ganz... Wenn
> ich dann die beiden Funktionen vergleiche, seh ich das dort
> die Vorzeichen anders sind als bei der anderen. Aber dann
> sind die Funktionen doch immer gleich, oder? Du musst
> entschuldigen; ich hatte das mit Punktsymmetrie etc. nie
> wirklich durchgenommen, sondern es wurde immer nur kurz
> angeschnitten -unverständlicherweise.
Naja, wann sind denn zwei Funktionen gleich? Wenn sie für alle x-Werte den gleichen Funktionswert haben. Und wenn dort z. B. einmal [mm] x^3 [/mm] steht und einmal [mm] -x^3 [/mm] so kann das doch nicht dasselbe sein. Setzt du z. B. x=1 ein, so erhältst du einmal [mm] 1^3=1 [/mm] und einmal [mm] -1^3=-1. [/mm] Das heißt, es müssen natürlich auch die Vorzeichen gleich sein!
Viele Grüße
Bastiane
P.S.: Aber wenn ihr das in der Schule nie hattet, dann dürfte das doch eigentlich auch gar nicht drankommen...
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Hi,
wenn ich dann eine Funktion habe, muss ich zu allererst vor alle x ein minus setze ausgenommen, beim Potenzieren. Dort muss man die Klammerung verwenden. Und wenn ich dann alles so weit als möglich zusammengefasst habe, vergleiche ich die Terme. Dann muss ich für x einen beliebigen wert einsetzen und dann den "funktionsterm" ausrechnen. Bei der ausgangsfunktion und bei der veränderten. Wenn bei beiden das gleiche ergebnis + gleiches vorzeichen herauskommt ist sie achsensymmetrisch. Hab ich das so richtig verstanden oder eher nicht?
Zu deiner Frage am Ende. Das ist der Prüfungskomission egal. Im Rahmenplan stand es anscheinend drin und wenn der Lehrer nicht im Stande war das ausführlich zu erklären ist es das pech der jeweiligen schüler -leider.... Du musst wissen, dass diese prüfung für alle schüler un ganz berlin erstellt wird, gleiche aufgaben, gleicher lösungsbogen und dabei orientiert man sich am rahmenplan.
Zu der einen Aufgabe, die ich aufgeschrieben hab, die funktion. Das war eine Aufgabe dieser art. Und man sollte dann den größtmöglichen definitionsbereich angeben, was ich nicht wirklich verstanden habe....
Noch eine andere Frage betreffend der symmetrie. Wenn ich ein mal keine gleichung gegeben hab, sondern die funktion schon in das koordinatensystem eingezeichnet ist, woran kann ich dann eine punktsymmetrie etc. ausmachen?
Grüsse
WaterofLife
PS Danke für deine Mühen, mir das verständlich zu erklären!
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Hallo WaterOfLife,
In einem eingezeichneten Graphen kannst du eine Punktsymmetrie wie folgt erkennen.
Nimm ein Geodreieck und lege es mit dem Nullpunkt im Ursprung an. Dieser Punkt bleibt fest. Du kannst das Geodreick nun um diesen Punkt 'drehen'. Wenn auf der einen Seite ein Punkt der Geraden den Abstand '3 cm' hat, so wirst du 'gespiegelt durch den Ursprung' auf der genau gegenüberliegenden Seite ebenfalls einen Punkt mit dem Abstand 3cm finden.
Du schaust also, ob du für jeden Punkt auf der einen Seite deines Geodreieckst eine Entsprechung auf der anderen Seite hast, die gleich weit weg ist.
Namárie,
sagt ein Lary, wo hofft, dass du durch seine komischen Formulierungen durchsteigst.
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Hi,
danke, ich glaub ich hab das verstanden :) und bei der Achsensymmetrie muss ich dann das geodreieck senkrecht legen und es dann verschieben?
Gruß
WaterofLife
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Mo 08.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Definitionsbereich ist die menge aller Zahlen, die man in die Funktion einsetzen kann, so dass sie definiert ist. also bei dir alle Zahlen zw. -3 und +3
man schreibt das oft als Intervall [-3,+3] die eckigen Klammern, weil 3 und -3 dazugehören.
Bei der Funktion [mm] f(x)=\bruch{1}{\wurzel{9-x^2}} [/mm] ist es auch das Intervall, aber ohne die Endpunkte, dann schreibt man x aus (-3,+3) (weil 1/0 nicht definiert ist.
Die Menge der Ergebnisse Ist die Wertemenge, oder der Wertevorrat, der ist bei [mm] f(x)=+\wurzel{9-x^2} [/mm] die menge aller x aus [0,3],
Bei der Fkt [mm] .f(x)=\bruch{1}{\wurzel{9-x^2}} [/mm] sind es alle pos. reellen Zahlen [mm] \ge [/mm] 1/3.
Zur Achsensymmetrie: Immer wenn NUR gerade Potenzen von x vorkommen ist eine Fkt. achsensym. weil sich dann die Vorzeichen nicht ändern, wenn man (-x) einsetzt. dazu gehört auch [mm] x^{0} [/mm] also konstanten.
Immer wenn NUR ungerade Potenzen vorkommen ist die Fkt. Punktsymetrisch zum Nullpunkt, denn wenn man (-x) einsetzt drehen alle Vorzeichen um. hier darf keine Konstante dabei stehen.
Gruss leduart
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Hi,
danke für deine Erklärung! Das mit dem Intervall war mir schon halbwegs klar gewesen. Nur ich verstehe nicht, wie man auf den Definitionsbereich R kommt. Man könnte ja auch N nehmen oder was weiß ich... Man kann ja schließlich nur zahlen von -3 bis +3 einsetzen. Oder was seh ich da falsch?
Grüsse
WaterofLife
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Di 09.05.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo WaterofLife,
> Hi,
> danke für deine Erklärung! Das mit dem Intervall war mir
> schon halbwegs klar gewesen. Nur ich verstehe nicht, wie
> man auf den Definitionsbereich R kommt. Man könnte ja auch
> N nehmen oder was weiß ich...
Ich glaube, du verwechselst hier Grundmenge und Definitionsbereich. Die Grundmenge ist letztlich beliebig wählbar. Wenn die Variable mit x bezeichnet wird, ist, wenn nichts anderes angegeben wird, die Menge der reellen Zahlen als Grundmenge gemeint. Aus dieser wählst du dann den größtmöglichen Definitionsbereich. Bei deinem Beispiel das Intervall [-3;3]. Wenn die Variable mit n bezeichnet wird, ist als Grundmenge die Menge der natürlichen Zahlen als Grundmenge gemeint.
> Man kann ja schließlich nur
> zahlen von -3 bis +3 einsetzen. Oder was seh ich da falsch?
>
Gruß
Sigrid
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Hi,
ich hab da jetzt noch eine Verständnissfrage betreffend der Punktsymmetrie. Muss der Ursprung immer der Punkt (0/0) sien oder kann der ein beliebiger Punkt auf der y-achse sein? Beispielsweise bei der funktion: f(x) = - [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ergibt eine hyperbel im ersten und im 3. quadranten. wenn ich dann bei dem Punkt 0 0 mit dem geodreieck messen würde, würde man ja gleiche entfernungen messen. Und beispielsweise die Kosinusfunktion und snusfunktion wie würde man dort schauen? Bis jetzt weiss ich ja. dass die Sinusfunktion achsensymmetrisch ist.
Gibt es auch eine Funktionsformel für die achsensymmetrie zur x-achse?
Ich bin jetzt noch auf ein neues Problem gestossen. Wenn ich eine Parabel gegen habe, die um beispielsweise sich am punkt 1/2 befindet und der schnittpunkt mit der y-achse lautet 0/3. Wie kann ich mir daraus eine Funktionsgleichung dichten? Es gibt ja die scheitelpunktform. Da könnte ich dann sagen (x + [mm] 1)^{2} [/mm] + 2 . Das müsste so weit ich weiss richtig sein. Aber wie kann ich dann auf die normalform [mm] x^{2} [/mm] + px + q kommen? Wenn ich das ausrechne kommt [mm] x^{2} [/mm] + 2x + 3 raus. In der Lösung steht aber -2x. Was hab ich da den falschgemacht?
Hoffe das waren nciht zu viele Fragen auf ein mal
Grüsse
WaterofLife
Nochmals vielen Dank für eure mir das verständlich zu erklären Mühen!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Di 09.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Lilly
> Hi,
> ich hab da jetzt noch eine Verständnissfrage betreffend der
> Punktsymmetrie. Muss der Ursprung immer der Punkt (0/0)
> sien oder kann der ein beliebiger Punkt auf der y-achse
> sein?
"Ursprung" ist nur die Bezeichnung von (0,0) (weil da die Koordinatenachsen ihren Ursprung haben!
> Beispielsweise bei der funktion: f(x) = -
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ergibt eine hyperbel im ersten und im 3.
> quadranten. wenn ich dann bei dem Punkt 0 0 mit dem
> geodreieck messen würde, würde man ja gleiche entfernungen
> messen.
Das geht nur, wenn die Funktion gezeichnet vorliegt. Wenn sie als Funktionsvorschrift vorliegt misst du nicht ab, (eigene Zeichnungen sind immer ungenau) sondern bildest f(x)=1/x, f(-x)=1/(-x)=-1/x =-f(x), also Punktsym zu (0,0)
anders bei [mm] f(x)=1/x^{2} f(-x)=1/(-x)^{2}=1/x^{2}=f(x) [/mm] also achsensymetrisch
Und beispielsweise die Kosinusfunktion und
> snusfunktion wie würde man dort schauen? Bis jetzt weiss
> ich ja. dass die Sinusfunktion achsensymmetrisch ist.
das ist falsch weil sin(-x)=-sin(x) also punktsym. und cos(x)=cos(-x) also Achsensymetrisch.
> Gibt es auch eine Funktionsformel für die achsensymmetrie
> zur x-achse?
Eine Funktion ist NIE zur x-Achse symetrisch, dann ist es keine Funktion mehr, von einer Funktion spricht man NUR wenn zu jedem x nur genau ein Wert f(x) gehört.
Deshalb kann zwar ein Kreis zur x-Achs sym liegen, aber den kannst du nicht als Funktion beschreiben, höchstens den halben kreis unter oder den unter der x Achse.
Die Funktion [mm] f(x)=\wurzel{9-x^2} [/mm] ist nur eine Funktion, wenn die Wurzel immr positiv ist, oder immer negativ, sie hat also nur Werte zw. 0 und 3 oder wenn ich [mm] f(x)=-\wurzel{9-x^2} [/mm] zwischen -3 und 0.
> Ich bin jetzt noch auf ein neues Problem gestossen. Wenn
> ich eine Parabel gegen habe, die um beispielsweise sich am
> punkt 1/2 befindet und der schnittpunkt mit der y-achse
> lautet 0/3. Wie kann ich mir daraus eine Funktionsgleichung
> dichten? Es gibt ja die scheitelpunktform. Da könnte ich
> dann sagen [mm](x +1)^{2} + 2[/mm] .
Die Scheitelform heisst [mm] f(x)=(x-x_{s})^{2}+y_{s} [/mm] wenn es ne "Normalparabel" ist, sonst : [mm] f(x)=a*(x-x_{s})^{2}+y_{s}
[/mm]
Du hast statt [mm] -x_{s} [/mm] + geschrieben.
> Das müsste so weit ich weiss
> richtig sein. Aber wie kann ich dann auf die normalform
> [mm]x^{2}[/mm] + px + q kommen? Wenn ich das ausrechne kommt [mm]x^{2}[/mm] +
> 2x + 3 raus. In der Lösung steht aber -2x. Was hab ich da
> den falschgemacht?
Den Punkt 0,3 hast du dabei gar nicht benutzt. er liegt aber drauf! Wenn er nicht drauf liegt, musst du noch das a in der allgemeinen formel benutzen.
> Hoffe das waren nciht zu viele Fragen auf ein mal
Ne, geht noch
Gruss leduart
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
Achsensymmetrie