Funktion f(x,y) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Guten Abend!
Ich bin neu in diesem Forum, habe euch durch eine Suchmaschine gefunden 
Bei meinem Problem geht es um 2 Beweisaufgaben. Zwar ist es für unsere Klausur vielleicht "nicht so wichtig" alle zu können, aber mich interessiert es was die Idee dahinter ist bzw. wie ich die so beweisen kann.
Vielleicht kann mir jemand wenigstens es bei einer zeigen.
Let f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] be a function defined by [mm] f(x,y)=xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}\not=(0,0), [/mm] and f(0,0)=0.
a) Show that f is continuous everywhere.
b) Show that [mm] \bruch{\partial f}{\partial x},\bruch{\partial f}{\partial y},\bruch{\partial}{\partial y}(\bruch{\partial f}{\partial x}) [/mm] and [mm] \bruch{\partial}{\partial x}(\bruch{\partial f}{\partial y}) [/mm] exist everywhere, but [mm] \bruch{\partial}{\partial y}(\bruch{\partial f}{\partial x})(0,0)\not=\bruch{\partial}{\partial x}(\bruch{\partial f}{\partial y})(0,0).
[/mm]
`
Ich bedanke mich schon mal für eure Hilfe und Versuche!!
Schönen Abend noch!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 So 22.05.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ich bin neu in diesem Forum, habe euch durch eine
> Suchmaschine gefunden
Nice try, but still a lie.
Bitte bleibe doch bei deinem ersten Login.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo!
> Let f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] be a function defined by
> [mm]f(x,y)=xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}\not=(0,0),[/mm] and f(0,0)=0.
>
> a) Show that f is continuous everywhere.
> b) Show that [mm]\bruch{\partial f}{\partial x},\bruch{\partial f}{\partial y},\bruch{\partial}{\partial y}(\bruch{\partial f}{\partial x})[/mm]
> and [mm]\bruch{\partial}{\partial x}(\bruch{\partial f}{\partial y})[/mm]
> exist everywhere, but [mm]\bruch{\partial}{\partial y}(\bruch{\partial f}{\partial x})(0,0)\not=\bruch{\partial}{\partial x}(\bruch{\partial f}{\partial y})(0,0).[/mm]
Also, ich würde bei der b) einfach mal die partiellen Ableitungen ausrechnen - das müsste doch für die Existenz reichen, oder?
Ich fang mal mit der ersten an:
[mm] \bruch{\partial{f}}{\partial{x}} [/mm] = [mm] y*\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}+xy*\bruch{2x(x^2+y^2)-(x^2-y^2)2x}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
Wenn man das nun weiter umformt, dann müsste man eigentlich erhalten:
[mm] =\bruch{x^4y+4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
Schaffst du den Rest alleine? Ich kontrolliere es gerne. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
du hast mir sehr geholfen! Dankeschön dafür!
Bei a) habe ich jetzt gerechnet, aber komme nicht weiter.
$ [mm] y\cdot{}\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}+xy\cdot{}\bruch{2x(x^2+y^2)-(x^2-y^2)2x}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $
[mm] \bruch{yx^2-y^3}{x^2+y^2}+xy\bruch{2x^3+2xy^2-2x^3+2x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{yx^2-y^3}{x^2+y^2}+xy\bruch{2xy^2+2x^3y^2}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{yx^2-y^3}{x^2+y^2}+\bruch{2x^2y^3+2x^4y^3}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
zu b) meinst du die Ableitungen nach x und y von $ [mm] f(x,y)=xy\bruch{x^2-y^2}{x^2+y^2}\not=(0,0), [/mm] $ ?
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