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Scheitelpunktform
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Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform einer Parabel kann man so schreiben:

$ f(x)= a(x-d)^2 + e $


Dabei liest man ab:
Der Scheitelpunkt liegt bei $ S (d | e) $.


Erklärung:

Die Normalparabel $ f(x)=x^2 $ mit Scheitelpunkt $ S (0|0) $
wird

  1. um $ d $ nach rechts verschoben, falls $ d>0 $ oder um $ d $ nach links verschoben, falls $ d<0 $
  2. mit Faktor $ a $ gestreckt/gestaucht
  3. und um $ e $ nach oben $ (e>0) $ bzw. nach unten $ (e<0) $ verschoben.

Beispielrechnung:

Nehmen wir mal zum Beispiel die Parabel $ p(x) \ = \ 3\cdot{}x^2-6\cdot{}x+15 $ und formen diese in die Scheitelpunktsform um:

   $ p(x) \ = \ 3\cdot{}x^2-6\cdot{}x+15 $


Zunächst den Zahlenwert vor dem $ x^2 $ ausklammern:

   $ p(x) \ = \ 3\cdot{}\left(\blue{x^2-2\cdot{}x}+5\right) $


Nun überlegen wir uns, wie wir den Term $ \blue{x^2-2\cdot{}x} $ zu einer binomischen Formel ergänzen können. Dafür nehmen wir uns den Term vor dem $ x_ $ , halbieren ihn und quadrieren diesen Wert:

   $ \left(\bruch{\blue{-2}}{2}\right)^2 \ = \ (-1)^2 \ = \ 1 $


Diesen Wert addieren wir nun und ziehen ihn gleich wieder ab, damit wir die Funktionsvorschrift nicht verändern:

   $ p(x) \ = \ 3\cdot{}\left(x^2-2\cdot{}x \ \red{+1-1}+5\right) $


Nun können wir $ x^2-2\cdot{}x+1 $ zusammenfassen mittels binomischer Formel zu: $ (x-1)^2 $ :

   $ p(x) \ = \ 3\cdot{}\left[(x-1)^2-1+5\right] $


   $ p(x) \ = \ 3\cdot{}\left[(x-1)^2+4\right] $


Nun die $ 3_ $ wieder hineinmultiplizieren:

   $ p(x) \ = \ 3\cdot{}(x-1)^2+3\cdot{}4 \ = \ 3\cdot{}(x-\red{1})^2+\green{12} $


Damit können wir nun den Scheitelpunkt ablesen mit $ S \ \left( \ \red{1} \ | \ \green{12} \ \right) $ .

Erstellt: Do 30.09.2004 von informix
Letzte Änderung: Do 20.12.2007 um 10:26 von informix
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