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Algebra-Training 2006
Aufgabenblatt 3
Abgabe: Fr 22.09.2006 12:00		15.09.2006
Die Definition des cartesischen Produktes findet sich hier.
Aufgabe 10
Man betrachte $ \IZ $ als additive Untergruppe von $ \IQ $ und zeige:

i) Jedes Element in $ \IQ/\IZ $ ist von endlicher Ordnung.

ii) Für jedes $ n \in \IN - \{0\} $ besitzt $ \IQ/\IZ $ genau eine Untergruppe der Ordnung $ n $, und diese ist zyklisch.
Aufgabe 11
Es seien $ m, n \in \IN - \{0\} $. Man zeige, daß die Gruppen $ \IZ/mn\IZ $ und $ \IZ/m\IZ \times \IZ/n\IZ $ genau dann isomorph sind, wenn $ m $ und $ n $ teilerfremd sind. Insbesondere ist ein Produkt zweier zyklischer Gruppen mit teilerfremden Ordnungen wieder zyklisch.

(Das Produkt zweier Gruppen ist die Menge der geordneten Paare mit komponentenweiser Verknüpfung.)
Aufgabe 12
Es sei $ \phi: \IZ^{n} \to \IZ^{n} $ ein Endomorphismus des $ n $-fachen Produkts der additiven Gruppe $ \IZ $. Man zeige: $ \phi $ ist genau dann injektiv, wenn $ \IZ^{n}/im(\phi) $ eine endliche Gruppe ist.

(Hinweis: Man betrachte den zu $ \phi $ gehörigen Homomorphismus von $ \IQ $-Vektorräumen $ \phi_{\IQ}: \IQ^{n} \to \IQ^{n} $.)
Aufgabe 13
Seien $ G $ eine endliche Gruppe und $ S $ und $ T $ zwei (nicht notwendig verschiedene) Teilmengen von $ G $. Dann gilt $ G = ST $ oder $ |G| \ge |S| + |T| $.

In der Originalversion heißt es: Dann gilt entweder $ G = ST $ oder $ |G| \ge |S| + |T| $. Ist das auch richtig?

Dabei ist $ ST := \{st| s \in S, t \in T\} $. $ ST $ ist selbst dann nicht unbedingt eine Untergruppe, wenn $ S $ und $ T $ es sind.
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