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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Do 29.03.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Beweisen Sie und benutzen Sie bei Bedarf das Prinzip der vollständigen Induktion
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Für alle natürlichen Zahlen n ist
[mm] \bruch{n}{6}+\bruch{n^2}{2}+\bruch{n^3}{3}
[/mm]
wieder eine natürliche Zahl.
Bei der Aufgabe komme ich nicht weiter ...
Wie geht das denn mit vollst.Induktion?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Do 29.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
zu der Aufgabe habe ich schon mal was geschrieben 
siehe hier
Nur da sollte der Lösungsweg nicht ganz genannt werden. Vielleicht hilft dir das aber weiter.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Do 29.03.2007 | | Autor: | Tea |
Ok, danke schonmal
Ich schau mir dann mal den Tipp an :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Do 29.03.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | | \ [mm] 10^n [/mm] - 1 durch 11 teilbar, sofern n [mm] \in\IN [/mm] gerade bzw. [mm] 10^n [/mm] + 1 durch 11 teilbar, sofern ungerade |
da hab ich es auch schon :) Danke nochmal für den Hinweis. Sowas in der Richtung hatte ich auch vor, wollte aber dann immer auf den Hauptnenner bringen und damit weitermachen anstatt auseinander zu ziehen. Ich bin wohl was blind ...
Kannst du mir für die andere Aufgabe zufällig auch einen kleinen Hinweis geben? 
Oder mache ich einfach 2 getrennte Beweise? wär wohl am sinnvollsten oder? Mir is das nicht ganz klar wie ich das gerade/ungerade formalisieren soll
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Do 29.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
fuer n ungerade faengst du mit n=1 an und dein Induktionsschritt ist immer 2 weiter, also von n auf n+2
ebenso gerade n=2 induktionsanfang, induktionsschritt von n auf n+2
musst du das mit induktion machen? ohne ists ganz leicht!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Do 29.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib die Behauptung um:
[mm] $\bruch{n+3n^2+2n^3}{6}$
[/mm]
und zeig, dass der Zahler immer durch 6 teilbar ist. das geht ohne vollst. induktion schnell mit den Fallunterscheidungen:
1)n durch 2 und 3 tb
2. n durch 3 tb
3. n durch 2 tb
4. n nicht durch 2 und 3 tb.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:03 Do 29.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich bin's noch einmal...
Ich weiß nicht, wie weit du dir die Tipps von leduart zu eigen gemacht hast.
Ich hätte auch noch einen Lösungsvorschlag. Musste die Aufgabe auch schon
einmal machen - scheint eine beliebte Aufgabe zu sein
Also...:
Du sollst zeigen, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm]
[mm] \bruch{n}{6}+\bruch{n^2}{2}+\bruch{n^3}{3}\in\IN [/mm] gilt.
Induktionsanfang: n=1: [mm] \bruch{1}{6}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}=\bruch{1}{6}+\bruch{3}{6}+\bruch{2}{6}=1\in\IN
[/mm]
Induktionsschritt: [mm] n\to [/mm] n+1
[mm] \bruch{n+1}{6}+\bruch{(n+1)^2}{2}+\bruch{(n+1)^3}{3}=\bruch{n}{6}+\bruch{1}{6}+\bruch{n^2}{2}+\bruch{2n}{2}+\bruch{1}{2}+\bruch{n^3}{3}+\bruch{3n^2}{3}+\bruch{3n}{3}+\bruch{1}{3}
[/mm]
wenn man das ein wenig umordnet:
[mm] \underbrace{=\underbrace{\bruch{1}{6}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}}_{=1\in\IN (siehe oben)}+\underbrace{\bruch{n}{6}+\bruch{n^2}{2}+\bruch{n^3}{3}}_{\in\IN nach Voraussetzung}+\underbrace{n+n^2+n}_{\in\IN(da)n\in\IN}}_{\in\IN}
[/mm]
Ja, so in etwa haben wir das bewiesen.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Tea |
Hi! Ich hab mal zu beiden Aufgaben meinen Lösungsweg mitreingeschrieben. Was sagt ihr dazu?
Bei der zweiten Aufgabe bin ich mir nicht sicher ob schon alles bewiesen ist oder ob ich noch weitermachen soll...
Danke nochmal für die Tipps, wollte halt Induktion üben und deswegen bin ich auch weniger auf leduarts Tipps eingegangen ... Sorry !
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PDF) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Fr 30.03.2007 | | Autor: | Tea |
da is es :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:14 Fr 30.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ich kann nur zur ersten Seite etwas sagen; nämlich, dass der Beweis richtig ist.
Um es mit Induktions zu zeigen, ist der erste Lösungsweg, meiner Ansicht nach, auch sinnvoller und im Endeffekt ist er einfacher als der zweite Weg.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Fr 30.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alle 2 Aufg. richtig
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{n} j^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
[mm] \n\in\IN\cup\{0\} [/mm] |
Mal wieder mit vollständiger Induktion
Erstmal muss ich sagen dass mir schon der IA nicht ganz klar ist, also was das \ 0 mir sagen soll.
Für [mm] \n=0 [/mm] macht das ganz doch keinen Sinn, oder? Ich verstehe das so dass ich dann die Summe von j=1 bis 0 bilden müsste ?!
Ich hab mit n=1 angefangen....
Allerdings hängt es noch am Beweis
Ich habe ja [mm] \summe_{i=1}^{n+1} j^2 [/mm] = [mm] (n+1)^2+ \summe_{i=1}^{n} j^2
[/mm]
[mm] (n+1)^2+\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}=\bruch{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6} [/mm] .
Kann mir einer n Tipp geben wie ich die linke Seite geschickt umforme?
Oder reicht es wenn ich zeige, dass links=rechts sprich alles ausmultipliziere? wohl eher nicht ...
Danke :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:54 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Fulla |
Hi Tea!
Hmm... Das mit der 0 ist mir auch nicht so ganz klar... Ich würde sagen, dass die Summe von $i=0$ bis $n$ gehen soll... dann ist auch das [mm] \in\IN\cup\{0\} [/mm] sinnvoll...
Ob du bei der Induktion jetzt bei $n=0$ oder $n=1$ anfängst ist eigentlich egal...
Induktionsanfang: z.B. $n=1$
[mm] \summe_{i=1}^{1}i^2=\bruch{1*(1+1)(2+1)}{6}=1 [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Induktionsvoraussetzung: .... Aussage gilt für ein $n$ ...
Ind. Schritt: [mm] $n\rightarrow [/mm] n+1$
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^2=\summe_{i=1}^{n}i^2+(n+1)^2\underbrace{=}_{Ind.Vor.}\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=...=\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}
[/mm]
Bei den Pünktchen (...) kommt der eigentliche Beweis. Das schaffst du aber durch ausmulitplizieren und Polynomdivision auch alleine. (Du weißt ja was rauskommen muss....)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Tea |
> Hi Tea!
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> Hmm... Das mit der 0 ist mir auch nicht so ganz klar... Ich
> würde sagen, dass die Summe von [mm]i=0[/mm] bis [mm]n[/mm] gehen soll...
> dann ist auch das [mm]\in\IN\cup\{0\}[/mm] sinnvoll...
>
> Ob du bei der Induktion jetzt bei [mm]n=0[/mm] oder [mm]n=1[/mm] anfängst ist
> eigentlich egal...
>
> Induktionsanfang: z.B. [mm]n=1[/mm]
> [mm]\summe_{i=1}^{1}i^2=\bruch{1*(1+1)(2+1)}{6}=1[/mm]
>
> Induktionsvoraussetzung: .... Aussage gilt für ein [mm]n[/mm] ...
>
> Ind. Schritt: [mm]n\rightarrow n+1[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}i^2=\summe_{i=1}^{n}i^2+(n+1)^2\underbrace{=}_{Ind.Vor.}\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=...=\bruch{(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)}{6}[/mm]
>
> Bei den Pünktchen (...) kommt der eigentliche Beweis.
:) Sehr gut soweit. So hab ich mir das auch gedacht.
> Das schaffst du aber durch ausmulitplizieren und
> Polynomdivision auch alleine. (Du weißt ja was rauskommen
> muss....)
Hm ... Nee, schaff ich leider nicht! ;-(
Wenn ich ausmultipliziere komme ich ja eigentlich immer weiter von der rechten Seite weg und was der Nenner bei meiner Division sein weiß ich auch nicht. 6!?
[mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n^2+2n+1)=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+\bruch{6n^2+12n+6}{6}=\bruch{2n^3+9n^2+13n+n+6}{6}
[/mm]
>
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tea!
Am besten, Du klammerst zunächst $(n+1)_$ aus:
$... \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}+(n+1)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)+6*(n+1)^2}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+1)*[n*(2n+1)+6*(n+1)]}{6} [/mm] \ = \ ...$
Wenn Du nun die eckige Klammer ausmultiplizierst und zusammenfasst, kannst Du eine entsprechende  Polynomdivision durchführen, da Du ja weißt, dass dort $(n+2)*(2n+3)_$ herauskommen muss.
Gruß
Loddar
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