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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 So 25.03.2007 | | Autor: | Lay-C |
| Aufgabe | | Beweisen sie dass [mm] \bruch{n}{6} + \bruch{n²}{2} + \bruch{n³}{3} [/mm] für alle [mm] n \in \IN [/mm] eine natürliche Zahl als Ergebnis hat |
ich hab mal wieder ne Induktionsaufgabe bei der ich nicht weiterkomme:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Start: für n=1
[mm]\bruch{1}{6} + \bruch{1}{2} +\bruch{1}{3} = 1[/mm]
Annahme:
[mm]\bruch{1}{6} + \bruch{1}{2} +\bruch{1}{3} = k[/mm] ist wahr für alle [mm] n \in \IN [/mm]
Schluss:
[mm] \bruch{n+1}{6} + \bruch{(n+1)²}{2} + \bruch{(n+1)³}{3} [/mm]
Ich habe zwar noch ein paar schirtte beim Schluss weitergemacht aber die haben mich alle nicht näher ans Ergebnis gebracht... könnt ihr mir helfen wie ich weiterkomme (noch nicht das ergebnis verraten)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 So 25.03.2007 | | Autor: | Lay-C |
ähmm nachdem ich vor dem Schreiben des Beitrags 2 Stunden an der Aufgabe saß hab ich sie jetzt 5 minuten danach gelöst.... Entschuldigung an alle die sich daran versuchen/versucht haben mir zu Helfen und trotzdem danke ^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 So 25.03.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
noch nicht das Ergebnis verraten 
Vielleicht reicht ja schon folgendes: Klammern auflösen und geschickt zusammenfassen... Wenn das nicht reicht, einfach weiterlesen.
Okay, dann versuch ich es dir nur mal anzudeuten:
(Im Übrigen, deine bisherigen Schritte sind richtig.)
Du hast ja $ [mm] \bruch{n+1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)²}{2} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)³}{3} [/mm] $
Der nächste Schritt ist, Klammern auflösen. Wird lang, aber hilfreich. Du kannst dann auf altbekanntest zurückführen, wie z.B.
$ [mm] \bruch{n}{6} [/mm] + [mm] \bruch{n²}{2} [/mm] + [mm] \bruch{n³}{3} [/mm] $ und $ [mm] \bruch{1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} +\bruch{1}{3} [/mm] $.
Und dann kommt noch ein Teil dazu. Von dem kannst du aber sicher sagen, dass er für [mm] n\in\IN [/mm] auch [mm] \in\IN [/mm] ist.
Jetzt muss ich aber auch schon aufhören, sonst verrate ich zuviel.
Viel Erfolg mit dem Tipp.
MfG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:49 Fr 06.04.2007 | | Autor: | dau2 |
Hi,
hab das ganze mal nach deinem Tipp ausgeklammert und komme auf:
[mm] \bruch{n^{3}}{30}+\bruch{n^{2}}{24}+\bruch{n}{42}+24
[/mm]
stimmt das?
Mfg
dau2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:33 Fr 06.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dau!
Mir ist hier nicht ganz klar, was du genau gerechnet hast. Du musst aber bedenken, dass du auch noch die Induktionsvoraussetzung [mm] $\bruch{n}{6}+\bruch{n^2}{2}+\bruch{n^3}{3} [/mm] \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] verwenden musst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Sa 07.04.2007 | | Autor: | dau2 |
Ok, dann ist mein Ansatz falsch.
bin für jeden weitern Tipp dankbar :)
Mfg
dau2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Sa 07.04.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
zwischenzeitlich hat noch jmd. diese Frage gestellt. Ich habe auch hier eine
Lösung (unter: Weiterer Vorschlag oder siehe unten) zu geschrieben. Die hilft dir vielleicht weiter.
Mir geht es im Übrigen wie Loddar; ich habe auch keine Ahnung, was du gerechnet hast. Aber wenn du den Tipp (Klammern auflösen) befolgt hast, müsstest du was anderes erhalten.
Schau dir doch mal den von mir beschriebenen Lösungsweg an; evtl. hilfts.
Also...:
Du sollst zeigen, dass für alle [mm] n\in\IN [/mm]
[mm] \bruch{n}{6}+\bruch{n^2}{2}+\bruch{n^3}{3}\in\IN [/mm] gilt.
Induktionsanfang: n=1: [mm] \bruch{1}{6}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}=\bruch{1}{6}+\bruch{3}{6}+\bruch{2}{6}=1\in\IN
[/mm]
Induktionsschritt: [mm] n\to [/mm] n+1
[mm] \bruch{n+1}{6}+\bruch{(n+1)^2}{2}+\bruch{(n+1)^3}{3}=\bruch{n}{6}+\bruch{1}{6}+\bruch{n^2}{2}+\bruch{2n}{2}+\bruch{1}{2}+\bruch{n^3}{3}+\bruch{3n^2}{3}+\bruch{3n}{3}+\bruch{1}{3}
[/mm]
wenn man das ein wenig umordnet:
[mm] \underbrace{=\underbrace{\bruch{1}{6}+\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}}_{=1\in\IN (siehe oben)}+\underbrace{\bruch{n}{6}+\bruch{n^2}{2}+\bruch{n^3}{3}}_{\in\IN nach Voraussetzung}+\underbrace{n+n^2+n}_{\in\IN(da)n\in\IN}}_{\in\IN}
[/mm]
Ja, so in etwa haben wir das bewiesen.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Mo 09.04.2007 | | Autor: | dau2 |
sehr verständlich.
Danke
Mfg
dau2
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