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vektorgradient: produk-/kettenregel gradienten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Mi 11.12.2019
Autor: nadrosch

Aufgabe
Seien f:Rn→R und g:Rn→R \ {0} differenzierbar. Zeigen Sie
grad~x(f/g)=(g(~x)*grad~x(f)−f(~x) grad~x(g)) / g2(~x)
für alle~x∈Rn.

Ich weiß, dass ich bei dieser Aufgabe Ketten und oder Produktregel für gradienten anwenden muss
z.B. grad(f/g)
Kettenregel:
h(t)=t/g  h'(t)=1/g=g^-1

grad(h°f)= h'(f(x))*grad(f(x)) da h' nicht von t abhängt und somit auch nicht von f(x) weiß ich nicht weiter

Aus dem angegebenen Ergebniss würde ich auch vermuten das die Produktregel anwendung findet also grad(f * 1/g)= An dieser stelle komme ich nicht weiter durch das 1/g.

Wäre für einen Tipp sehr dankbar.
MFG
nadrosch

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
vektorgradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:05 Do 12.12.2019
Autor: fred97


> Seien f:Rn→R und g:Rn→R \ {0} differenzierbar. Zeigen
> Sie
>  grad~x(f/g)=(g(~x)*grad~x(f)−f(~x) grad~x(g)) / g2(~x)
>  für alle~x∈Rn.



Puuh, das ist schwer zu lesen... Ich vermute, dass mit ~x  der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] gemeint ist.  In meinen Ausführungen weiter unten lasse ich den (bekloppten) Pfeil weg und schreibe nur x statt [mm] \vec{x}. [/mm]



>  Ich weiß, dass ich bei dieser Aufgabe Ketten und oder
> Produktregel für gradienten anwenden muss
>  z.B. grad(f/g)
>  Kettenregel:
>  h(t)=t/g  h'(t)=1/g=g^-1
>  
> grad(h°f)= h'(f(x))*grad(f(x)) da h' nicht von t abhängt
> und somit auch nicht von f(x) weiß ich nicht weiter
>  
> Aus dem angegebenen Ergebniss würde ich auch vermuten das
> die Produktregel anwendung findet also grad(f * 1/g)= An
> dieser stelle komme ich nicht weiter durch das 1/g.
>  
> Wäre für einen Tipp sehr dankbar.

Es geht ganz einfach mit der Quotientenregel für Funktionen einer Variablen und etwas Vektorrechnung:

Setzen wir $h:= [mm] \frac{f}{g}.$ [/mm] Dann ist

       $ [mm] (\star) \quad grad_x h(x)=(h_{x_1}(x),...., h_{x_n}(x))^T.$ [/mm]


Die partielle Ableitung [mm] h_{x_i} [/mm] bekommt man mit der Produktregel für Funktionen einer Variablen:

      $ [mm] h_{x_i}(x)= \frac{g(x)f_{x_i}(x)-f(x)g_{x_i}(x)}{g(x)^2}.$ [/mm]

Nun setze dies in [mm] $(\star)$ [/mm] ein, fasse noch etwas zusammen, dann solltest Du das gewünschte Resultat erhalten.


>  MFG
>  nadrosch
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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