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unregelmäßige vielecke: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Mi 15.10.2003
Autor: magic

Wie kann ich bei einen unregelmäßigen Vieleck die Anzahl der Teilflächen errechnen, wenn alle möglichen Diagonalen gezogen wurden


vielen , vielen Dank

        
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unregelmäßige vielecke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Mi 15.10.2003
Autor: Stefan

Hallo magic,

erst einmal freue ich mich, dass du den Weg zu uns gefunden hast.  Also, sehr einfach ist die Aufgabe ja nicht gerade. Vor allem für die 7. Klasse... Eine Frage: Sind wirklich alle unregelmäßigen Vielecke zugelassen??? Das erschwert die Sache nämlich ziemlich, da dann die Diagonalen auch außerhalb des Vielecks liegen können. Oder sind nur sogenannte "konvexe" Vielecke zugelassen, also solche, wo mit je zwei Punkten auch deren Verbindungsstrecke drin liegt?

Viele Grüße
Stefan


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unregelmäßige vielecke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:37 Mi 15.10.2003
Autor: magic

Es ist nicht Schulstoff, es handelt sich hierbei um eine Aufgabe der Matheclubs der Matheolympiade.
Bei der Aufgabenstellung wird  auf konvexe Vielecke  verwiesen.  Eine zeichnerische Lösung  funktiniert nur bei relativ kleinen  n-Eck, die Anzahl der Diagonalen  und der Teilflächen die an den äußeren Rand stoßen konnte ich noch an Hand gefundener Formeln berechnen , aber hier habe ich keinerlei Ideen. Es scheint auch nur bei unregelmäßgen  Vielecken möglich zu sein, denn bei regelmäßgen kreuzen sich mehr als zwei Diagonale an ein und dem gleichen Punkt

vielen Dank  für die Bemühungen

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unregelmäßige vielecke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Mi 15.10.2003
Autor: Marc

Hallo magic,

mir ist auch nicht ganz klar, dass es überhaupt eine solche Formel geben kann, denn die Anzahl der Teilflächen hängt doch vom konkreten Aussehen des Vielecks ab (und nicht bloß von der Anzahl der Ecken).
Was aber wohl möglich ist, die minimale und maximale Anzahl der Teilflächen anzugeben, aber ich weiß nicht, ob ich die Fragestellung da nicht vielleicht mißverstehe.

Ist die Mathe-Olympiade denn schon gelaufen, oder sind das aktuelle Aufgaben? Ansonsten ist es vielleicht etwas unfair, die Aufgabe hier zu besprechen.

Viele Grüße,
Marc


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unregelmäßige vielecke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:11 Mi 15.10.2003
Autor: magic

Es ist auch nach der maximal möglichen Anzahl der Teilflächen gefragt.  Die Aufgabe war im letzten Jahr in der 8. Klasse gestellt und sollte in diesem Jahr vermutlich bei der nächsten Stufe, nach Erfahrungswerten  bei uns kommen. Also Quasi als Vorbereitung

Viele Grüße

magic

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unregelmäßige vielecke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:23 Mi 15.10.2003
Autor: Marc

Hallo magic,

dann gehe doch mal schrittweise vor.

Nehme dir ein beliebiges (konvexes) Vieleck, und zeichne *eine* Diagonale ein. Wie viele Teilflächen sind entstanden?

Jetzt die nächste Diagonale, wie viele Teilflächen können maximal entstehen?

Dann die dritte usw.

Jetzt ist nur noch das Problem, wie viele Diagonalen es überhaupt in einem n-Eck gibt, aber da kommst du vielleicht auch jetzt drauf...

Sonst melde dich einfach mit weiteren Fragen, und natürlich auch, wenn dir meine "Anleitung" nicht wirklich weitergeholfen hat... ;-)

Viele Grüsse,
Marc


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unregelmäßige vielecke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Mi 15.10.2003
Autor: Stefan

Hallo Marc,

vielleicht hat es magic ja jetzt verstanden, aber ich immer noch nicht. ;-)

Stelle ich mich gerade zu blöd an? Ich habe mit Zeichnen für ein 4-eck 4, für ein 5-eck 11 und für ein 6-eck 25 Teilflächen raus, wenn jeder Kreuzungspunkt nur einfach ist (dann nämlich ist die Anzahl maximal).

Ich hatte jetzt so angefangen: Für die ersten n-3 Diagonalen (am ersten Eckpunkt) bekommt man n-2 Teilflächen, dann für die nächsten n-3 Diagonalen (am nächsten Eckpunkt) 2+3+...+n-2 Teilflächen,...

Ist der Ansatz falsch?

Viele Grüße
Stefan


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unregelmäßige vielecke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:02 Mi 15.10.2003
Autor: Marc

Hallo Stefan,

aber genau solche Überlegungen meinte ich doch (oder hab' *ich* da jetzt was nicht verstanden? ;-))

Gruß,
Marc


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unregelmäßige vielecke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Mi 15.10.2003
Autor: Stefan

Hallo Marc,

ähmmm, ja, solche Überlegungen meintest du wohl, sorry. Trotzdem ist mit die Lösungsformel nicht klar. Wie sieht das denn für den nächsten Eckpunkt aus? Z.B. bei einem Sechseck: Erster Eckpunkt: 3 Diagonalen, 4 Flächen, zweiter Eckpunkt: 3 Diagonalen, 2+3+4 Flächen, dritter Eckpunkt: 2 Diagonalen, 3+5 Flächen, vierter Eckpunkt: 1 Diagonale, 4 Flächen, insgesamt: 25 Flächen.

Wie kann man daraus eine allgemeine Formel herleiten? Ist mir immer noch nicht klar, sorry, dass ich mich gerade so blöd anstelle... :-(

Alles Gute
Stefan


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unregelmäßige vielecke: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:17 Mi 15.10.2003
Autor: Marc

Hallo Stefan,

ich gebe zu, dass ich so weit noch gar nicht gedacht hatte, da ich nur eine mögliche Vorgehensweise vorschlagen wollte.

Jedenfalls sehe ich es doch richtig, dass die Schnittpunkte der Diagonalen entscheidend hier sind, denn jeder Schnittpunkt addiert zu der vorherigen Flächenzahl zwei weitere Teilflächen.

Weiter habe ich wieder nicht gedacht, weil ich denke, dass die Anzahl der Schnittpunkte jeder Diagonalen und damit die Gesamtschnittpunktanzahl einfach zu berechnen sein müßte... Aber bevor ich sowas schreibe, sollte ich mir vielleicht tatsächlich erst die genaue Lösung klar machen, also bis gleich hoffentlich...

Gruß,
Marc


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unregelmäßige vielecke: [verbessert]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:25 Mi 15.10.2003
Autor: Stefan

Hallo Marc,

> Jedenfalls sehe ich es doch richtig, dass die Schnittpunkte der
> Diagonalen entscheidend hier sind, denn jeder Schnittpunkt
> addiert zu der vorherigen Flächenzahl zwei weitere Teilflächen.

Hmmh... So einfach ist es, glaube ich, nicht, oder?

> Weiter habe ich wieder nicht gedacht, weil ich denke, dass die
> Anzahl der Schnittpunkte jeder Diagonalen und damit die
> Gesamtschnittpunktanzahl einfach zu berechnen sein müßte...

Für mich nicht, aber ich habe wohl gerade ein Brett vor dem Kopf (und leider gerade keine Zeit weiter drüber nachzudenken).

Eigentlich liegen mir solche Aufgaben, aber heute bin ich völlig daneben.

Danke für deine Mühe!

Alles Gute
Stefan



Nachricht bearbeitet (Mi 15.10.03 22:30)

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unregelmäßige vielecke: [verbessert]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:22 Do 16.10.2003
Autor: Stefan

Hallo,

ich habe es immer noch nicht raus. Peinlich! (Olympia-Aufgabe der 7. Klasse...)

Aber ich möchte darüber diskutieren. :-) Wer macht mit?

Ich habe mir jetzt mal die Mühe gemacht und versucht auf eine allgemeine Formel zu kommen wie im Testforum angedacht:

Also:

n=4 -> 4 Flächen

n=5 -> hinzu kommen 1+3+3=7 Flächen -> gesamt: 11 Flächen

n=6 -> hinzu kommen 1+4+5+4=14 Flächen -> gesamt: 25 Flächen

n=7 -> hinzu kommen 1+5+7+7+5=25 Flächen -> gesamt: 50 Flächen

n=8 -> hinzu kommen 1+6+9+10+9+6=41 Flächen -> gesamt: 91 Flächen.

Sieht da jemand eine Regelmäßigkeit, die man beweisen könnte?? (Bitte erst selbstständig am Neuneck überprüfen!)

Die Zahlen nach der "1" sind jeweils die Anzahl der Schnittpunkte der i-ten Diagonalen des neu hinzugenommenen Eckpunktes mit den "alten" Diagonalen, plus 1 (denn soviele Flächen kommen hinzu, wenn man die i-ten "neue" Diagonale zeichnet).

Gebt mir mal einen Input! ;-)

Alles Gute
Stefan



Nachricht bearbeitet (Fr 17.10.03 08:44)

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unregelmäßige vielecke: [verbessert]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:40 Do 16.10.2003
Autor: Stefan

Okay, für ungerades n kommen gerade

[mm]1 + 2 \cdot \sum_{i=1}^{\frac{n-3}{2}} [i\cdot(n-3) - i\cdot (i-1) + 1][/mm]

neue Flächen hinzu.

Für gerades n müssten es dann

[mm]1 + 2 \cdot \sum_{i=1}^{\frac{n-4}{2}} [i\cdot(n-3) - i\cdot (i-1) + 1] + \frac{n-2}{2} \cdot (n-3) - \frac{n-2}{2} \cdot \frac{n-4}{2} + 1[/mm]

sein. Kann das mal jemand überprüfen? ;-)

Es geht aber bestimmt auch eleganter und einfacher...


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