symmetrisch-transitiv aber nicht reflexiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Es sei ein Beispiel für eine Relation zu finden, welche nicht-reflexiv, jedoch symmtrisch und transitiv ist.
Zudem stellt sich die Frage, wie dies überhaupt zustande kommen kann, denn:
Sei [mm]\sim[/mm] eine Relation auf der Menge [mm]X[/mm]. Nehmen wir an, es gäbe [mm]x,y\in X[/mm] so, dass [mm]x\sim y[/mm] gilt. Dann gilt nach dem Symmetriegesetz ja auch [mm]y\sim x[/mm] und nach dem Transitivitätsgesetz auch [mm]x\sim x[/mm], was die Reflexivität implizieren würde.
Diese aufgabe stammt aus "Lineare Algebra" von Beutelspacher und ich überlege, wo dort der Fehler drinne ist (ja, es ist auf jeden Fall einer drinne).
Das einzige, was mir dazu einfällt, ist folgendes:
Man kann nicht annehmen, dass zu jedem [mm]x\in X[/mm] ein [mm]y\in X[/mm] existiert, so dass [mm]x\sim y[/mm]. Denn nur durch diese Annahme ist die Implikation der Reflexivität gerechtfertigt, anderenfalls nicht.
Ist das so korrekt?
Und wenn ja, findet jemand ein Beispiel für eine solche Relation?
Ich habe schon ne Weile drüber nachgedacht,aber mir fällt nichts ein.
Danke schonmal.
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Hanno!
> Es sei ein Beispiel für eine Relation zu finden, welche
> nicht-reflexiv, jedoch symmtrisch und transitiv ist.
> Zudem stellt sich die Frage, wie dies überhaupt zustande
> kommen kann, denn:
> Sei [mm]\sim[/mm] eine Relation auf der Menge [mm]X[/mm]. Nehmen wir an, es
> gäbe [mm]x,y\in X[/mm] so, dass [mm]x\sim y[/mm] gilt. Dann gilt nach dem
> Symmetriegesetz ja auch [mm]y\sim x[/mm] und nach dem
> Transitivitätsgesetz auch [mm]x\sim x[/mm], was die Reflexivität
> implizieren würde.
>
> Diese aufgabe stammt aus "Lineare Algebra" von
> Beutelspacher und ich überlege, wo dort der Fehler drinne
> ist (ja, es ist auf jeden Fall einer drinne).
>
> Das einzige, was mir dazu einfällt, ist folgendes:
> Man kann nicht annehmen, dass zu jedem [mm]x\in X[/mm] ein [mm]y\in X[/mm]
> existiert, so dass [mm]x\sim y[/mm]. Denn nur durch diese Annahme
> ist die Implikation der Reflexivität gerechtfertigt,
> anderenfalls nicht.
>
> Ist das so korrekt?
Das dürfte genau der Grund sein.
Bei einer nicht-reflexiven, symmetrischen und transitiven Relation gibt es also mindestens ein Element, das in "keiner Relation" zu einem anderen steht.
> Und wenn ja, findet jemand ein Beispiel für eine solche
> Relation?
So eine Relation ist schnell gefunden: In einem ungerichteten Graphen erfüllt die Relation [mm] "$a\sim [/mm] b\ [mm] :\gdw\$ [/mm] Es gibt einen Weg vom Knoten a zum Knoten b" die Bedinungen, wenn es im Graphen Knoten ohne Kanten gibt.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Sa 14.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi.
Danke Marc, das ging ja ratzfatz.
*hmpf* ICh habe einige Zeit drüber nachgedacht, doch mir ist einfach nichts eingefallen.
Gruß und Dank,
Hanno
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