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Forum "Schul-Analysis" - symmetrie

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symmetrie: Frage

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	00:37 Mo 14.02.2005
Autor:	jera

hallo , wer kann helfen ?

an der beispielaufgabe für die funktion [mm] 3x^{3}+p x^{2}+3x [/mm]
suche ich den wert von p damit der graph punktsymmetrisch ist !

da dies aber gerade und ungerade also gemischte potenzen sind , ist die funktion doch weder achsen - noch punktsymmetrisch oder ?

könnte mir das ansonsten mal jemand erklären ? ich glaube ich verstehe da irgendetwas nicht !

liebe grüsse jera

Bezug

symmetrie: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	00:48 Mo 14.02.2005
Autor:	Bastiane

Hallo jera!
> an der beispielaufgabe für die funktion [mm]3x^{3}+p x^{2}+3x [/mm]
>
> suche ich den wert von p damit der graph punktsymmetrisch
> ist !
>
> da dies aber gerade und ungerade also gemischte potenzen
> sind , ist die funktion doch weder achsen - noch
> punktsymmetrisch oder ?

Ganz richtig!

Was muss p also sein?
Mmh? Kommst du drauf? Damit die Funktion also punktsymmetrisch ist, dürfen nur noch ungerade Potenzen vorhanden sein, die geraden Potenzen fallen aber weg, wenn du p=0 wählst. :-)

> könnte mir das ansonsten mal jemand erklären ? ich glaube
> ich verstehe da irgendetwas nicht !

Formal könnte man das übrigens so schreiben (also, wenn man das mit den geraden und ungeraden Potenzen noch nicht weiß ;-)

):
für die Punktsymmetrie muss gelten:
f(x)=-f(-x)
[mm] f(x)=3x^3+px^2+3x [/mm]
[mm] f(-x)=3(-x)^3+p(-x)^2+3(-x)=-3x^3+px^2-3x [/mm]
also ist [mm] -f(-x)=3x^3-px^2+3x [/mm]

gleichsetzen ergibt:
[mm] 3x^3+px^2+3x=3x^3-px^2+3x [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] px^2=-px^2 [/mm]
[mm] \gdw [/mm]
p=-p
[mm] \gdw [/mm]
p=0 :-)

Viele Grüße
Bastiane