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| Aufgabe | Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] in X und B [mm] \in \mathcal{P}(X).
[/mm]
Zeige, dass [mm] \mathcal{F} [/mm] = [mm] \{ (A \cap B) \cup (A' \cap B^{c}) | A,A' \in \mathcal{A} \} [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist. |
Hallo,
leider habe ich hier ein Problem zu zeigen, dass gilt [mm] F\in\mathcal{F}\Rightarrow F^{c}\in\mathcal{F} [/mm] ist.
Ich habe angefangen mit:
[mm] ((A\cap B)\cup (A'\cap B^{c}))^{c} [/mm] = [mm] (A\cup A')^{c}
[/mm]
aber naja jetzt weiß ich nicht...
Ich wäre froh über jede Hilfe oder Hinweis!
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 So 21.11.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] in X und B [mm]\in \mathcal{P}(X).[/mm]
>
> Zeige, dass [mm]\mathcal{F}[/mm] = [mm]\{ (A \cap B) \cup (A' \cap B^{c}) | A,A' \in \mathcal{A} \}[/mm]
> eine [mm]\sigma-Algebra[/mm] ist.
> Hallo,
> leider habe ich hier ein Problem zu zeigen, dass gilt
> [mm]F\in\mathcal{F}\Rightarrow F^{c}\in\mathcal{F}[/mm] ist.
> Ich habe angefangen mit:
> [mm]((A\cap B)\cup (A'\cap B^{c}))^{c}[/mm] = [mm](A\cup A')^{c}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich kann nicht nachvollziehen, wie du darauf kommst. Den Ausdruck
[mm] $((A\cap B)\cup (A'\cap B^{c}))^{c}$
[/mm]
umzuformen ist aber schon eine sehr gute Idee. Wende dazu die DeMorganschen Rechengesetze an, wende danach ein Distributivgesetz der Mengenlehre an und erhalte die Vereinigung vierer Mengen.
Bei einer handelt es sich um die leere Menge, die Menge [mm] $A^c\cap [/mm] A'^c$ ist in den anderen beiden Mengen enthalten (zeigen!).
Viele Grüße,
Marc
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