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schon wieder der logarithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:52 So 20.05.2012
Autor: MaxPlanck

Aufgabe
Warum ist [mm] \[log(z^{2})\] [/mm] auf dem Gebiet, wo [mm] \[z\ne 0\] [/mm] und [mm] \[arg(z)\ne \pm \bruch{\pi}{2}\] [/mm] analytisch?

Die Komposition zweier analytischer Funktionen ist wiederum analytisch, der Logarithmus ist analytisch auf der geschlitzten Ebene, also C ohne der negativen reellen Achse, [mm] \[z^{2}\] [/mm] ist analytisch auf ganz C. Wenn ich mir die Abbildung der geschlitzten Ebene durch [mm] \[z\mapsto z^{2}\] [/mm] anschaue, sehe ich, dass dann [mm] \[arg(z*z)=2*arg(z)\ne \pm\pi\] [/mm] gilt, oder? Und das ist das Gebiet, für das die Analytizität zu zeigen war, vorausgesetzt der Logarithmus ist analytisch auf der geschl.Eb., oder?

        
Bezug
schon wieder der logarithmus: Genau!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:10 Mo 21.05.2012
Autor: Helbig

Deine Überlegungen sind alle richtig! Es fehlt nur noch, daß [mm] $z^2$ [/mm] in [mm] $\IC^-$ [/mm] liegt. Und das folgt aus [mm] $\arg z^2 \ne \pm \pi$, [/mm] denn die Zahlen auf der negativen reellen Achse haben alle das Argument [mm] $\pi [/mm] + [mm] k*2\pi, k\in\IZ$. [/mm]

OK?

Gruß,
Wolfgang

Bezug
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