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re.Teilraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 So 23.11.2003
Autor: jundi

                hello wieder,

Ja,genau das meine ich.
                                 2     1     -5
Es sei ein anderer teil raum V=<(-3) ,(1) ,(10)>
                                 2     5     -1

was werden die dimension und basis für U+V sein.und-wenn ich noch mal fragen darf-was werden die dimensionen für U schnittstele-heißt es so oder...- mit V. danke.

                   jundi


        
Bezug
re.Teilraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 So 23.11.2003
Autor: Marc

Hallo jundi,

zunächst etwas formelles: Bitte fange nur für neue Fragen ein neues Thema an, weil wir sonst den Überblick verlieren. In unserem Forum kann man einfach einen neuen Artikel als Antwort auf einen anderen posten, so dass sich alles zu einem so genannten "Thread" entwickelt.

> Ja,genau das meine ich.
>                                  2     1     -5
>  Es sei ein anderer teil raum V=<(-3) ,(1) ,(10)>

>                                  2     5     -1
>  
>  was werden die dimension und basis für U+V sein.und-wenn ich

Bist du sicher, dass Basis und Dimension von U+V für dieses U und V gemeint sind? Woher stammt denn diese Aufgabe? Kannst du uns die gesamte Aufgabenstellung posten?

Was mich skeptisch macht, ist, dass U und V Teilräume verschiedener Vektorräume sind (die Vektoren aus U hatten ja 4 Komponenten und die Vektoren aus V haben jetzt nur 3 Komponenten).

Deine Frage kann trotzdem einigermaßen sinnvoll beantwortet werden, und zwar so
(aber wahrscheinlich ist es so nicht gemeint):
U ist ja ein Teilraum des [mm]\IR^4[/mm] und V von [mm]\IR^3[/mm]. Man könnte jetzt den [mm]\IR^3[/mm] in den [mm]\IR^4[/mm] einbetten, in dem eine vierte Komponente ergänzt und diese z.B. 0 setzt. Deine drei Vektoren, die V aufspannen sollen, würde dann lauten:

[mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}[/mm], [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \\0 \end{pmatrix}[/mm] und [mm]\begin{pmatrix} -5 \\ 10 \\ -1 \\0 \end{pmatrix}[/mm]

Der Vektorraum U+V würde dann von diesen 6 Vektoren aufgespannt werden, unter denen du dann -- mit meinem in einem vorherigen Beitrag beschriebenen Verfahren -- eine Basis finden müßtest:

[mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \\-1 \end{pmatrix}[/mm], [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\4 \end{pmatrix}[/mm], [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -3 \\-11 \end{pmatrix}[/mm], [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 2 \\0 \end{pmatrix}[/mm], [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \\0 \end{pmatrix}[/mm] und [mm]\begin{pmatrix} -5 \\ 10 \\ -1 \\0 \end{pmatrix}[/mm]

> noch mal fragen darf-was werden die dimensionen für U

Na klar darfst du fragen!

> schnittstele-heißt es so oder...- mit V. danke.

Du meinst "Schnittmenge", also [mm] U\cap V[/mm].
Da diese Menge im allgemeinen kein Vektorraum ist (sondern nur für den Fall, dass eine Menge von U und V Teilmenge der anderen ist), ist die Frage leicht beantwortet: Falls [mm] U\cap V[/mm] ein Vektorraum ist, dann ist die Dimension entweder die Dimension von U oder die Dimension von V:
[mm] \dim(U\cap V) = \dim(U)[/mm], falls [mm]U\cap V=U[/mm]
oder
[mm] \dim(U\cap V) = \dim(V)[/mm], falls [mm]U\cap V=V[/mm].

Auch hier würde mich interessieren, wie die Aufgabenstellung genau lautete...

Ich würde mich freuen, wenn du dich wieder melden würdest (diesmal als Antwort auf diesen Artikel ;-))

Gruß,
Marc.


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