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metrik/offen bzw abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:13 Di 01.05.2012
Autor: EvelynSnowley2311

Aufgabe
Für A,B [mm] \subset \IR^n [/mm] sei A+B := { a+b;a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B}. Beweise oder widerlegen Sie folgende Aussagen:

a) A,B offen => A+B offen
B) A,B abgeschlossen => A+B abgeschlossen
C) A,B kompakt => A+B kompakt

huhu,

Also ich bin etwas verwirrt. Die Definition hier ist NICHT die normale Definition der Vereinigung von Mengen oder?
Als Antworten hätte ich nach ein paar überlegungen gesagt, dass a) falsch ist, b) richtig und c) weiß ich noch nicht.
ich hab mir zu a) als Gegenbeispiel gedacht:
betrache A := [mm] (1-\varepsilon [/mm] , 1+ [mm] \varepsilon) [/mm] und B:= [mm] (\varepsilon,-\varepsilon) [/mm]

dann wäre A+B := [1] eine abgeschlossene Menge

bei b, weiß ich nicht so recht. ich kenn den Beweis, wenns normale Vereinigung wäre, aber so..

c) ich denke mir, dass es falsch sein könnte, da bei A+B die Beschränktheit gefährdet sein könnte.


Lg,

Eve

        
Bezug
metrik/offen bzw abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:24 Di 01.05.2012
Autor: fred97


> Für A,B [mm]\subset \IR^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

sei A+B := { a+b;a [mm]\in[/mm] A, b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

B}.

> Beweise oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
>  
> a) A,B offen => A+B offen
>  B) A,B abgeschlossen => A+B abgeschlossen

>  C) A,B kompakt => A+B kompakt

>  huhu,
>  
> Also ich bin etwas verwirrt. Die Definition hier ist NICHT
> die normale Definition der Vereinigung von Mengen oder?

Nein. A+B ist doch oben def.


>  Als Antworten hätte ich nach ein paar überlegungen
> gesagt, dass a) falsch ist, b) richtig und c) weiß ich
> noch nicht.
>  ich hab mir zu a) als Gegenbeispiel gedacht:
>  betrache A := [mm](1-\varepsilon[/mm] , 1+ [mm]\varepsilon)[/mm] und B:=
> [mm](\varepsilon,-\varepsilon)[/mm]

Du meinst wohl

             B:= [mm](-\varepsilon,\varepsilon)[/mm]

>  
> dann wäre A+B := [1] eine abgeschlossene Menge

Das stimmt nicht. Für [mm] \varepsilon [/mm] =2 ist 0 [mm] \in [/mm] A+B


>  
> bei b, weiß ich nicht so recht. ich kenn den Beweis, wenns
> normale Vereinigung wäre, aber so..
>  
> c) ich denke mir, dass es falsch sein könnte, da bei A+B
> die Beschränktheit gefährdet sein könnte.

Wann A und B beschränkt sin, so ist auch A+B beschränkt !!


FRED

>  
>
> Lg,
>  
> Eve


Bezug
                
Bezug
metrik/offen bzw abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Di 01.05.2012
Autor: EvelynSnowley2311

hi,

vlt zu a) ein anderes, simpleres Gegenbeispiel:
A:= (-1,-3) B:= (1,3) wäre dann nicht A+B := [0]?


zu b)
indirekt:

angenommen, A+B wäre offen, dann würde A+B nur aus inneren Punkten bestehen, spricht [mm] U_\varepsilon [/mm] (a+b) [mm] \subset [/mm] A+B,inbesondere also [mm] U_\varepsilon [/mm] (a+b) [mm] \cap [/mm] ( [mm] \IR^n [/mm] \ A+B ) = [mm] \emptyset [/mm]

Nach Vorrausetzung sind A und B aber abgeschlossene Mengen, d.h. A bzw. B enthält all seine Randpunkte, für die gilt mit [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig:
[mm] U_\varepsilon [/mm] (a) [mm] \cap [/mm] A [mm] \not= \emptyset [/mm]
[mm] U_\varepsilon [/mm] (a) [mm] \cap (\IR^n [/mm] \ A) [mm] \not= \emptyset [/mm]

bzw.
[mm] U_\varepsilon [/mm] (b) [mm] \cap [/mm] B [mm] \not= \emptyset [/mm]
[mm] U_\varepsilon [/mm] (b) [mm] \cap (\IR^n [/mm] \ B) [mm] \not= \emptyset [/mm]

Soweit sogut, ab hier könnte es etwas holprig sein:
Daraus folgt, dass

[mm] U_\varepsilon [/mm] (b) [mm] \cap (\IR^n [/mm] \ B) + [mm] U_\varepsilon [/mm] (a) [mm] \cap (\IR^n [/mm] \ A) [mm] \not= \emptyset [/mm]  = [mm] U_\varepsilon [/mm] (a+b) [mm] \cap [/mm] ( [mm] \IR^n [/mm] \ A+B )

=> Widerspruch. A+B muss abgeschlossen sein!


Bezug
                        
Bezug
metrik/offen bzw abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:49 Di 01.05.2012
Autor: tobit09

Hallo Evelyn,


> vlt zu a) ein anderes, simpleres Gegenbeispiel:
>  A:= (-1,-3) B:= (1,3) wäre dann nicht A+B := [0]?

Wenn du $A=(-3,-1)$ meinst: Nein.

     [mm] $A+B=\{a+b\;|\;a\in(-3,-1), b\in(1,3)\}=(-2,2)$ [/mm]


> zu b)
>  indirekt:
>  
> angenommen, A+B wäre offen,

Das Gegenteil von abgeschlossen ist NICHT offen (sondern "nicht abgeschlossen"). Es gibt sowohl Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind, als auch Mengen, die weder offen noch abgeschlossen sind.

> dann würde A+B nur aus
> inneren Punkten bestehen, spricht [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b)
> [mm]\subset[/mm] A+B [mm] $\red{\text{für ein }\varepsilon>0}$,inbesondere [/mm] also [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\cap[/mm] (
> [mm]\IR^n[/mm] \ A+B ) = [mm]\emptyset[/mm]

Soweit korrekt.

> Nach Vorrausetzung sind A und B aber abgeschlossene Mengen,
> d.h. A bzw. B enthält all seine Randpunkte, für die gilt
> mit [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig:
> [mm]U_\varepsilon[/mm] (a) [mm]\cap[/mm] A [mm]\not= \emptyset[/mm]
>  [mm]U_\varepsilon[/mm] (a)
> [mm]\cap (\IR^n[/mm] \ A) [mm]\not= \emptyset[/mm]
>  
> bzw.
>  [mm]U_\varepsilon[/mm] (b) [mm]\cap[/mm] B [mm]\not= \emptyset[/mm]
>  [mm]U_\varepsilon[/mm]
> (b) [mm]\cap (\IR^n[/mm] \ B) [mm]\not= \emptyset[/mm]

Wenn a und b Randpunkte von A bzw. B sind: Ja.


>  Daraus folgt, dass
>  
> [mm]U_\varepsilon[/mm] (b) [mm]\cap (\IR^n[/mm] \ B) + [mm]U_\varepsilon[/mm] (a) [mm]\cap (\IR^n[/mm]
> \ A) [mm]\not= \emptyset[/mm]  = [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\cap[/mm] ( [mm]\IR^n[/mm] \
> A+B )

Ja.

> => Widerspruch.

Worin besteht ein Widerspruch?

> A+B muss abgeschlossen sein!

Wie am Anfang schon erwähnt: Du hättest nur gezeigt, dass $A+B$ nicht offen ist. Deshalb muss $A+B$ noch lange nicht abgeschlossen sein.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
metrik/offen bzw abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:59 Di 01.05.2012
Autor: EvelynSnowley2311

ah verdammt, ich dachte wenigstens die b wäre richtig..
zu a) fällt mir ehrlich gesagt kein Beispiel mehr ein.

b) ich hab doch auch gezeigt, dass das Komplement  von (A+B)  offen sein muss oder? Das impliziert doch die Abgeschlossenheit von A+B

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metrik/offen bzw abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Di 01.05.2012
Autor: tobit09


>  zu a) fällt mir ehrlich gesagt kein Beispiel mehr ein.

Das ist auch gut so, denn a) ist zu beweisen! :-)


> b) ich hab doch auch gezeigt, dass das Komplement  von
> (A+B)  offen sein muss oder?

Warum das?

> Das impliziert doch die
> Abgeschlossenheit von A+B

Das würde dann in der Tat die Abgeschlossenheit von $A+B$ implizieren.


Ich verrate dir jetzt mal, dass b) zu widerlegen ist.

Betrachte z.B. mal [mm] $A=\{n+\bruch1n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}$ [/mm] und [mm] $B=\{-n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}$. [/mm]

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metrik/offen bzw abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:23 Di 01.05.2012
Autor: EvelynSnowley2311

oohhhh man, da mach ich mir soviel Mühe für ne ganz falsche Richtung ;P

> >  zu a) fällt mir ehrlich gesagt kein Beispiel mehr ein.> Betrachte z.B. mal [mm]A=\{n+\bruch1n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm] und

> [mm]B=\{-n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm].


dann wäre A+B ja [mm] (\bruch{1}{n}) [/mm] bei n größer 2 wäre das halt eine Zahl [mm] \in \IQ. [/mm] sind diese immer offen?

edit: ach sry, oder meinst du ,dass 0 offen ist?^^

Bezug
                                                        
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metrik/offen bzw abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Di 01.05.2012
Autor: tobit09


> > >  zu a) fällt mir ehrlich gesagt kein Beispiel mehr ein.>

> Betrachte z.B. mal [mm]A=\{n+\bruch1n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm] und
> > [mm]B=\{-n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm].

Dieses Beispiel sollte sich auf b) beziehen. Aussage a) sollst du ja beweisen und nicht widerlegen.


> dann wäre A+B ja [mm](\bruch{1}{n})[/mm]

Nein, A+B besteht nicht nur aus diesen Brüchen. Aber diese Brüche gehören zu A+B, was dir entscheidend weiterhilft zu zeigen, dass A+B nicht abgeschlossen ist...

> bei n größer 2 wäre das
> halt eine Zahl [mm]\in \IQ.[/mm]
> sind diese immer offen?

Offen oder nicht offen können TEILMENGEN von [mm] $\IR$ [/mm] bzw. [mm] $\IR^n$ [/mm] sein, nicht einzelne Elemente.

Bezug
                                                                
Bezug
metrik/offen bzw abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Di 01.05.2012
Autor: EvelynSnowley2311


> > Betrachte z.B. mal [mm]A=\{n+\bruch1n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm] und
> > > [mm]B=\{-n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm].

sry ich steh aufm Schlauch. Wie sieht denn  A+B dann aus? müsste es nicht
A+B := { [mm] n+\bruch{1}{n}-n [/mm] : n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 2}  ?

>

zu a)

A, B offen : => A und B enthalten jeweils nur innere Punkte, d.h. [mm] U_\varepsilon [/mm] (a) [mm] \subset [/mm] A, [mm] U_\varepsilon [/mm] (b) [mm] \subset [/mm] B
zu zeigen wäre dann
[mm] U_\varepsilon [/mm] (a+b) [mm] \subset [/mm] A+B

ich versuchs immer irgendwie über indirekten Beweis:
vlt so:

Annahme : [mm] U_\varepsilon [/mm] (a+b) [mm] \cap (\IR^n [/mm] \ A+B) [mm] \not= \emptyset [/mm]
dann enthält A+B all seine Häufungspunkte. In jeder der [mm] U_\varepsilon [/mm] (HP) liegen unendlich viele Elemente.
Doch in A und in B liegen in jeder [mm] U_\varepsilon [/mm] nur endliche Elemente. endlich + endlich ist nicht unendlich Widerspruch -> A+B muss offen sein

so in etwa?

Bezug
                                                                        
Bezug
metrik/offen bzw abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Di 01.05.2012
Autor: tobit09


> > > Betrachte z.B. mal [mm]A=\{n+\bruch1n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm] und
> > > > [mm]B=\{-n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

.

>  sry ich steh aufm Schlauch. Wie sieht denn  A+B dann aus?
> müsste es nicht
>  A+B := $\{$ [mm]n+\bruch{1}{n}-n[/mm] : n [mm]\in \IN[/mm] , n [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

2$\}$  ?
Nein.

     $A+B=\{n+\bruch1n-m\;|\;n,m\in\IN,\;n,m\ge2\}$

Zugegebenermaßen nicht sehr übersichtlich. Aber die entscheidenden Eigenschaften sind:
1. $\bruch1n\in A+B$ für alle $n\in\IN$ mit $n\ge 2$
2. $0\not\in A+B$ (denn alle Elemente von $A+B$ sind keine ganzen Zahlen)

Kann $A+B$ also abgeschlossen sein? Abgeschlossenheit einer Teilmenge $C\subseteq\IR$ (oder auch $C\subseteq\IR^n$) ist ja gleichbedeutend mit der Bedingung, dass der Limes jeder konvergenten Folge von Werten aus $C$ wieder in $C$ liegt.

Sind $A$ und $B$ abgeschlossen?


> zu a)
>  
> A, B offen : => A und B enthalten jeweils nur innere
> Punkte, d.h. [mm]U_\varepsilon[/mm] (a) [mm]\subset[/mm] A, [mm]U_\varepsilon[/mm] (b)

für geeignete [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] für alle [mm] $a\in [/mm] A$, [mm] $b\in [/mm] B$

> [mm]\subset[/mm] B
>  zu zeigen wäre dann

die Existenz eines [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit

>  [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\subset[/mm] A+B

Guter Ansatz!

Zeige [mm] $U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\}\subseteq [/mm] A+B$.
  

> ich versuchs immer irgendwie über indirekten Beweis:
>  vlt so:
>  
> Annahme : [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\cap (\IR^n[/mm] \ A+B) [mm]\not= \emptyset[/mm]

für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm]

> dann enthält A+B all seine Häufungspunkte.

Warum sollte das gelten?

> In jeder der
> [mm]U_\varepsilon[/mm] (HP) liegen unendlich viele Elemente.
>  Doch in A und in B liegen in jeder [mm]U_\varepsilon[/mm] nur
> endliche Elemente.

Nein. Jeder Epsilonball im [mm] $\IR^n$ [/mm] enthält unendlich viele Elemente.

Bezug
                                                                                
Bezug
metrik/offen bzw abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Di 01.05.2012
Autor: EvelynSnowley2311


> > > > Betrachte z.B. mal [mm]A=\{n+\bruch1n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm] und
> > > > > [mm]B=\{-n\;|\;n\in\IN,\;n\ge2\}[/mm].
>  >  sry ich steh aufm Schlauch. Wie sieht denn  A+B dann
> aus?
> > müsste es nicht
>  >  A+B := [mm]\{[/mm] [mm]n+\bruch{1}{n}-n[/mm] : n [mm]\in \IN[/mm] , n [mm]\ge[/mm] 2[mm]\}[/mm]  ?
>  Nein.
>  
> [mm]A+B=\{n+\bruch1n-m\;|\;n,m\in\IN,\;n,m\ge2\}[/mm]
>  
> Zugegebenermaßen nicht sehr übersichtlich. Aber die
> entscheidenden Eigenschaften sind:
>  1. [mm]\bruch1n\in A+B[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] mit [mm]n\ge 2[/mm]
>  2.
> [mm]0\not\in A+B[/mm] (denn alle Elemente von [mm]A+B[/mm] sind keine ganzen
> Zahlen)
>  
> Kann [mm]A+B[/mm] also abgeschlossen sein? Abgeschlossenheit einer
> Teilmenge [mm]C\subseteq\IR[/mm] (oder auch [mm]C\subseteq\IR^n[/mm]) ist ja
> gleichbedeutend mit der Bedingung, dass der Limes jeder
> konvergenten Folge von Werten aus [mm]C[/mm] wieder in [mm]C[/mm] liegt.
>  
> Sind [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] abgeschlossen?
>  

Ahhh, m und n statt n und n^^ für n [mm] \to \infty [/mm] wäre 0 ja ein Wert bei der Teilfolge [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] der Nicht in A+B liegt, daher gibt es eine konvergente TeilFolge, die gegen ein c [mm] \not\in [/mm] C konvergiert.

> > zu a)
>  >  
> > A, B offen : => A und B enthalten jeweils nur innere
> > Punkte, d.h. [mm]U_\varepsilon[/mm] (a) [mm]\subset[/mm] A, [mm]U_\varepsilon[/mm]
> (b)
>  für geeignete [mm]\varepsilon>0[/mm] für alle [mm]a\in A[/mm], [mm]b\in B[/mm]
>  
> > [mm]\subset[/mm] B
>  >  zu zeigen wäre dann
>  die Existenz eines [mm]\varepsilon>0[/mm] mit
>  >  [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\subset[/mm] A+B
>  
> Guter Ansatz!

zumindest etwas :P

> Zeige [mm]U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\}\subseteq A+B[/mm].
>  

gilt   [mm] U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\}, [/mm] weil b selbst natürlich in der [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung von sich selbst  liegt? und dann [mm] U_\varepsilon(A) [/mm] sozusagen ein beliebiges a [mm] \in [/mm] A ist?

Bezug
                                                                                        
Bezug
metrik/offen bzw abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 Di 01.05.2012
Autor: tobit09


> Ahhh, m und n statt n und n^^ für n [mm]\to \infty[/mm] wäre 0 ja
> ein Wert bei der Teilfolge [mm]\bruch{1}{n},[/mm] der Nicht in A+B
> liegt, daher gibt es eine konvergente TeilFolge, die gegen
> ein c [mm]\not\in[/mm] C konvergiert.

Nicht lehrbuchreif aufgeschrieben, aber ich glaube, du hast die Argumentation verstanden.

Da A und B als diskrete Mengen abgeschlossen sind und A+B nicht abgeschlossen ist, wie du gerade begründet hast, ist Aussage b) widerlegt.


>  > > zu a)

>  >  >  
> > > A, B offen : => A und B enthalten jeweils nur innere
> > > Punkte, d.h. [mm]U_\varepsilon[/mm] (a) [mm]\subset[/mm] A, [mm]U_\varepsilon[/mm]
> > (b)
>  >  für geeignete [mm]\varepsilon>0[/mm] für alle [mm]a\in A[/mm], [mm]b\in B[/mm]
>  
> >  

> > > [mm]\subset[/mm] B
>  >  >  zu zeigen wäre dann
>  >  die Existenz eines [mm]\varepsilon>0[/mm] mit
>  >  >  [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\subset[/mm] A+B
>  >  
> > Guter Ansatz!
>  zumindest etwas :P
>  > Zeige [mm]U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\}\subseteq A+B[/mm].

>  
> >  

> gilt   [mm]U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\},[/mm]
> weil b selbst natürlich in der [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung von
> sich selbst  liegt? und dann [mm]U_\varepsilon(A)[/mm] sozusagen ein
> beliebiges a [mm]\in[/mm] A ist?

Nein.

Sorry, ich habe mich vertippt: Es hätte natürlich [mm] $U_\varepsilon(a)$ [/mm] anstelle von [mm] $U_\varepsilon(A)$ [/mm] heißen müssen.

Nehmen wir mal die erste der beiden Inklusionen (Teilmengenbeziehungen):

Sei [mm] $x\in U_\varepsilon(a+b)$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $U_\varepsilon(a)+\{b\}$. [/mm]

Wegen [mm] $x\in U_{\varepsilon}(a+b)$ [/mm] gilt [mm] $||x-(a+b)||<\varepsilon$, [/mm] also [mm] $||(x-b)-a||<\varepsilon$. [/mm] Also gilt [mm] $x-b\in U_\varepsilon(a)$. [/mm] Also tatsächlich [mm] $x=(x-b)+b\in U_\varepsilon(a)+\{b\}$. [/mm]

Bezug
                                                                                                
Bezug
metrik/offen bzw abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 Di 01.05.2012
Autor: EvelynSnowley2311


> > Ahhh, m und n statt n und n^^ für n [mm]\to \infty[/mm] wäre 0 ja
> > ein Wert bei der Teilfolge [mm]\bruch{1}{n},[/mm] der Nicht in A+B
> > liegt, daher gibt es eine konvergente TeilFolge, die gegen
> > ein c [mm]\not\in[/mm] C konvergiert.
>  Nicht lehrbuchreif aufgeschrieben, aber ich glaube, du
> hast die Argumentation verstanden.
>  
> Da A und B als diskrete Mengen abgeschlossen sind und A+B
> nicht abgeschlossen ist, wie du gerade begründet hast, ist
> Aussage b) widerlegt.
>  
>
> >  > > zu a)

>  >  >  >  
> > > > A, B offen : => A und B enthalten jeweils nur innere
> > > > Punkte, d.h. [mm]U_\varepsilon[/mm] (a) [mm]\subset[/mm] A, [mm]U_\varepsilon[/mm]
> > > (b)
>  >  >  für geeignete [mm]\varepsilon>0[/mm] für alle [mm]a\in A[/mm], [mm]b\in B[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > > [mm]\subset[/mm] B
>  >  >  >  zu zeigen wäre dann
>  >  >  die Existenz eines [mm]\varepsilon>0[/mm] mit
>  >  >  >  [mm]U_\varepsilon[/mm] (a+b) [mm]\subset[/mm] A+B
>  >  >  
> > > Guter Ansatz!
>  >  zumindest etwas :P
>  >  > Zeige [mm]U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\}\subseteq A+B[/mm].

>  
> >  

> > >  

> > gilt   [mm]U_\varepsilon(a+b)\subseteq U_\varepsilon(A)+\{b\},[/mm]
> > weil b selbst natürlich in der [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung von
> > sich selbst  liegt? und dann [mm]U_\varepsilon(A)[/mm] sozusagen ein
> > beliebiges a [mm]\in[/mm] A ist?
> Nein.
>  
> Sorry, ich habe mich vertippt: Es hätte natürlich
> [mm]U_\varepsilon(a)[/mm] anstelle von [mm]U_\varepsilon(A)[/mm] heißen
> müssen.
>  
> Nehmen wir mal die erste der beiden Inklusionen
> (Teilmengenbeziehungen):
>  
> Sei [mm]x\in U_\varepsilon(a+b)[/mm]. Zu zeigen ist
> [mm]U_\varepsilon(a)+\{b\}[/mm].
>  
> Wegen [mm]x\in U_{\varepsilon}(a+b)[/mm] gilt
> [mm]||x-(a+b)||<\varepsilon[/mm], also [mm]||(x-b)-a||<\varepsilon[/mm]. Also
> gilt [mm]x-b\in U_\varepsilon(a)[/mm]. Also tatsächlich
> [mm]x=(x-b)+b\in U_\varepsilon(a)+\{b\}[/mm].

[mm] U_{\varepsilon}(b) [/mm] + {a}
[mm] U_{\varepsilon}(a+b) [/mm] => || x-(a+b)|| < [mm] \varepsilon, [/mm] ||x-a-b|| = ||(x-a)-b|| < [mm] \varepsilon [/mm] => x-a [mm] \in U_{\varepsilon}(b) [/mm]
x = (x-a) + a [mm] \in U_{\varepsilon}(b) [/mm] + {a}

omg das sieht so einfach aus ;P Zwar selbst nix hingekriegt aber dank dir hab ichs auf jeden Fall verstanden .. ^^

Lg und vielen Dank

Eve

Bezug
                                                                                                        
Bezug
metrik/offen bzw abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:33 Di 01.05.2012
Autor: tobit09


> [mm]U_{\varepsilon}(b)[/mm] + {a}
>  [mm]U_{\varepsilon}(a+b)[/mm] => || x-(a+b)|| < [mm]\varepsilon,[/mm]

> ||x-a-b|| = ||(x-a)-b|| < [mm]\varepsilon[/mm] => x-a [mm]\in U_{\varepsilon}(b)[/mm]
>  
> x = (x-a) + a [mm]\in U_{\varepsilon}(b)[/mm] + {a}

Was tust du da?

(Es steht noch aus, [mm] $U_\varepsilon(a)+\{b\}\subseteq [/mm] A+B$ zu begründen.)

> omg das sieht so einfach aus ;P Zwar selbst nix hingekriegt

Der korrekte Ansatz stammte sehr wohl von dir... :-)

Bezug
                                                                                                                
Bezug
metrik/offen bzw abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Di 01.05.2012
Autor: EvelynSnowley2311


> (Es steht noch aus, [mm]U_\varepsilon(a)+\{b\}\subseteq A+B[/mm] zu
> begründen.)
>  

reicht hier eine argumentative Begründung..?^^
bzw muss ich [mm] U_\varepsilon(a)+\{b\} [/mm] auf {a}+{b} bringen?

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metrik/offen bzw abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:53 Di 01.05.2012
Autor: tobit09


> reicht hier eine argumentative Begründung..?^^

Eine Begründung mit stichhaltigen Argumenten genügt eigentlich immer... ;-)

> bzw muss ich [mm]U_\varepsilon(a)+\{b\}[/mm] auf {a}+{b} bringen?

Nimm dir ein Element von [mm] $x\in U_\varepsilon(a)+b$ [/mm] und zeige [mm] $x\in [/mm] A+B$.

Vergiss dabei nicht, [mm] $U_\varepsilon(a)\subseteq [/mm] A$ ins Spiel zu bringen...

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metrik/offen bzw abgeschlossen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:05 Di 01.05.2012
Autor: Helbig


> > [mm]U_{\varepsilon}(b)[/mm] + {a}
>  >  [mm]U_{\varepsilon}(a+b)[/mm] => || x-(a+b)|| < [mm]\varepsilon,[/mm]

> > ||x-a-b|| = ||(x-a)-b|| < [mm]\varepsilon[/mm] => x-a [mm]\in U_{\varepsilon}(b)[/mm]
>  
> >  

> > x = (x-a) + a [mm]\in U_{\varepsilon}(b)[/mm] + {a}
>  Was tust du da?

Ich denke mal, Eve will die Voraussetzung, daß $B$ offen ist, ins Spiel bringen.
Dies ist aber gar nicht nötig, da $A+B$ schon offen ist, wenn nur $A$ offen ist, denn dann ist [mm] $A+\{b\}$ [/mm] für jedes [mm] $b\in [/mm] B$ offen, wie schon Tobias gezeigt hat, und $A+B$ ist als Vereinigung offener Mengen auch offen.

Gruß,
Wolfgang

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