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Wir haben paar Aufgaben bekommen die wir lösen müssen ,wenn ihr mir das an einem beispiel zeigen könntet, wie ich das machen muss währe das ganz toll ...
Untersuchen Sie, ob folgende Vektoren jeweils linear unabhängig sind, ein Erzeugenden- system des [mm] lR^3 [/mm] oder sogar eine Basis des [mm] lR^3 [/mm] bilden:
(a,b,c )schreibe ich für vektoren,bedeutet sie natürlich übereinander
a)(2,3,4)(4,3,2)(4,5,6)
[mm] \vektor{2 \\ 3\\4},\vektor{4\\ 3\\2},\vektor{4 \\ 5\\6}
[/mm]
b) (3,1,1)(1,3,1)(3,3,1)(1,3,3)
[mm] \vektor{3 \\ 1\\1},\vektor{1\\ 3\\1},\vektor{3 \\ 3\\1},\vektor{1 \\3\\3},
[/mm]
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Halli hallo!
> Wir haben paar Aufgaben bekommen die wir lösen müssen
> ,wenn ihr mir das an einem beispiel zeigen könntet, wie ich
> das machen muss währe das ganz toll ...
na klar machen wir das!!! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Untersuchen Sie, ob folgende Vektoren jeweils linear
> unabhängig sind, ein Erzeugenden- system des [mm]lR^3[/mm] oder
> sogar eine Basis des [mm]lR^3[/mm] bilden:
>
> (a,b,c )schreibe ich für vektoren,bedeutet sie natürlich
> übereinander
>
> a)(2,3,4)(4,3,2)(4,5,6)
> [mm]\vektor{2 \\ 3\\4},\vektor{4\\ 3\\2},\vektor{4 \\ 5\\6}
[/mm]
ok, dann starten wir mal:
um die lineare Unabhängigkeit zu testen, mußt du schauen, ob du einen der Vektoren mithilfe der beiden anderen darstellen kannst.
Eine sehr einfache Methode ist die mithilfe der Determinante:
Man berechnet:
[mm] \vmat{ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 5 \\ 4 & 2 & 6}
[/mm]
Ist der Wert der Determinante ungleich 0, so sind die Vektoren linear unabhängig!
Bei uns also:
[mm] \vmat{ 2 & 4 & 4 \\ 3 & 3 & 5 \\ 4 & 2 & 6}=0
[/mm]
Also sind die drei Vektoren linear abhängig
(man kann auch anders vorgehen um die lineare (Un)Abhängigkeit zu zeigen:
man löst das folgende Gleichungssystem:
2a+4b+4c=0
3a+3b+5c=0
4a+2b+6c=0
erhälst du nur die triviale Lösung a=b=c=0, so sind die Vektoren linear unabhängig, andernfalls linear abhängig)
Die Vektoren bilden demnach auch kein Erzeugendensystem des [mm] \IR^{3}, [/mm] da zwei Vektoren eine Ebene aufspannen, und der dritte Vektor in dieser liegt!
Eine Basis bilden die Vektoren demnach auch nicht!
>
> b) (3,1,1)(1,3,1)(3,3,1)(1,3,3)
> [mm]\vektor{3 \\ 1\\1},\vektor{1\\ 3\\1},\vektor{3 \\ 3\\1},\vektor{1 \\3\\3},
[/mm]
Hier kannst du wieder mittels der Determinante erkennen, dass die Vektoren [mm] \vektor{3 \\ 1\\1},\vektor{1\\ 3\\1},\vektor{1 \\3\\3} [/mm] linear unabhängig sind, der vierte Vektor [mm] \vektor{3 \\ 3\\1} [/mm] läßt sich demnach mittels der anderen drei darstellen, da wir uns im [mm] \IR^{3} [/mm] befinden.
Hierbei handelt es sich also um ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^{3}, [/mm] da die drei Vektoren [mm] \vektor{3 \\ 1\\1},\vektor{1\\ 3\\1},\vektor{1 \\3\\3}, [/mm] den Raum aufspannen!
Eine Basis ist es allerdings nicht, da wir vier Vektoren haben, die im [mm] \IR^{3} [/mm] immer linear abhängig sind (Eine Basis besteht aber immer aus linear unabhängigen Vektoren).
Ich hoffe ich konnte es dir einigermaßen verständlich schildern!
Liebe Grüße
Ulrike
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danke dir vielmals,ich habe jetzt verstanden ,dass wenn man dass Gleichungssystem löst und a ,b ,c gleich sind dan ist es linear unabhängig gut .
"Die Vektoren bilden demnach auch kein Erzeugendensystem des da zwei Vektoren eine Ebene aufspannen, und der dritte Vektor in dieser liegt!"
Bei dieser Aussage fehlt mir das grundwissen,ich verstehe nicht genau was gemeint ist mit spannen eine Ebene auf,tut mir leid das ich so viel nachfrage :(
"Eine Basis bilden die Vektoren demnach auch nicht!" ->sind keine basis da sie kein Erzeugendes System haben ?
DANKE nochmals
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Hallo!
> danke dir vielmals,ich habe jetzt verstanden ,dass wenn man
> dass Gleichungssystem löst und a ,b ,c gleich sind dan ist
> es linear unabhängig gut .
Nein, das stimmt nicht so ganz. Nur, wenn a=b=c=0 sind, sind die Vektoren linear unabhängig. Es reicht nicht, dass a, b und c gleich sind, sondern sie müssen schon alle gleich 0 sein. (Hast du das mit der Determinante eigentlich verstanden? Oder hattet ihr das vielleicht gar nicht?)
> "Die Vektoren bilden demnach auch kein Erzeugendensystem
> des da zwei Vektoren eine Ebene aufspannen, und der dritte
> Vektor in dieser liegt!"
>
> Bei dieser Aussage fehlt mir das grundwissen,ich verstehe
> nicht genau was gemeint ist mit spannen eine Ebene auf,tut
> mir leid das ich so viel nachfrage :(
Kein Problem, wenn du so konkrete Fragen hast, antworten wir dir doch gerne. Also, die Sache ist die:
Wenn du einen Vektor hast, der in eine bestimmte Richtung zeigt, kannst du diesen Vektor in die besagte Richtung bis in die Unendlichkeit verlängern und auch in die entgegengesetzte Richtung genauso, und so erhältst du dann eine Gerade. Ist das noch klar?
Und wenn du jetzt einen zweiten Vektor hast, der in dieselbe Richtung zeigt (er kann dabei aber länger oder kürzer sein als der andere) kannst du ihn theoretisch genauso in beide Richtungen bis in die Unendlichkeit verlängern, und erhältst aber genau die gleiche Gerade. Das heißt, jeder dieser beiden Vektoren "spannt ein Gerade auf" (ich glaube, mathematisch sagt man das nicht so, aber zur Verdeutlichung mache ich es jetzt mal), aber wenn der erste schon deine Gerade aufspannt und der zweite vom ersten linear abhängig ist, dann spannt der zweite keine neue Gerade auf, sondern er liegt in dieser Geraden.
Und genauso geht das jetzt bei Ebenen:
Für eine Ebene brauchst du aber schon mal zwei Vektoren, die nicht in die gleiche Richtung zeigen, stell dir zum Beispiel ein Blatt Papier vor (das ist deine Ebene) und nimm die beiden Vektoren, die von einer Ecke nach rechts, bzw. nach "hinten" zeigen (also im rechten Winkel genau am Rand des Papiers entlang). Du kannst natürlich zwei beliebige Vektoren auf deinem Blatt Papier nehmen, sie müssennur linear unabhängig sein, dürfen also nicht, wie eben im zweiten Fall bei den Geraden, in dieselbe Richtung zeigen. So, und diese beiden Vektoren spannen nun eine Ebene, eben genau das Papier, auf. Und wenn du jetzt einen dritten Vektor nimmst, der auch auf dem Papier liegt (also nicht in die Höhe geht), dann liegt dieser Vektor in der Ebene. Und da alle Vektoren in einer Ebene mit anderen Vektoren der Ebene dargestellt werden können, ist dieser Vektor linear abhängig von deinen zwei ersten.
Wenn du jetzt aber einen Raum (als bei dir den [mm] \IR^3) [/mm] aufspannen willst, so brauchst du drei linear unabhängige Vektoren. Wenn du also die Papier-Ebene hast, brauchst du noch einen Vektor, der eben genau in die "Höhe" zeigt, also linear unabhängig von den anderen ist.
So, und ein Erzeugendensystem ist ein System von Vektoren, die eben einen Raum (bei dir also der [mm] \IR^3) [/mm] "erzeugt", also quasi "aufspannt". Wenn nun deine zwei Vektoren zwar eine Ebene bilden, der dritte aber in dieser Ebene liegt, können die drei keinen Raum aufspannen.
Ich hoffe, die Erklärung war jetzt nicht so lang, dass es dich schon wieder verwirrt... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> "Eine Basis bilden die Vektoren demnach auch nicht!" ->sind
> keine basis da sie kein Erzeugendes System haben ?
Mmh, ich glaube, das ist auch nicht ganz richtig. Also, was man unter einem Erzeugendensystem versteht, habe ich ja gerade schon erklärt. Eine Basis kann man jetzt definieren als das kleinste Erzeugendensystem, demnach also ein Erzeugendensystem von linear unabhängigen Vektoren.
Wenn du zum Beispiel für den [mm] \IR^3 [/mm] die Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 }, \vektor{2 \\ 0 \\ 0 } [/mm] nimmst, so bilden sie eine Erzeugendensystem, aber keine Basis. Das ist klar, denn vier Vektoren können im [mm] \IR^3 [/mm] keine Basis bilden, da sie nicht linear unabhängig sein können (und eine Basis besteht aus linear unabhängigen Vektoren!). Drei Vektoren werden aber benötigt, da der [mm] \IR^3 [/mm] ja dreidimensional ist, und wenn du dir wieder dein Blatt Papier vorstellst, so brauchst du ja noch einen Vektor, der von deiner zweidimensionalen Ebene in die dritte Dimension, die Höhe, zeigt.
Demnach sähe eine Basis für den [mm] \IR^3 [/mm] so aus: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] (dies ist übrigens die Standardbasis, auch kanonische Basis genannt)
Du kannst also folgern: wenn Vektoren kein Erzeugendensystem sind, können sie auch keine Basis sein (nach Definition der Basis), wenn sie eine Basis sind, sind sie auch ein Erzeugendensystem. Du kannst aber nicht folgern: wenn sie ein Erzeugendensystem sind, sind sie auch eine Basis! (Gegenbeispiel habe ich dir eben erläutert...)
So, wenn du noch mehr Fragen hast, sieh dir vielleicht nochmal genau die Definition von Erzeugendensystem und Basis an, du darfst aber auch gerne nochmal nachfragen.
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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