lin. Unabh. & Fundamentalsatz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Sa 12.05.2007 | | Autor: | laryllan |
| Aufgabe | Es sei [tex] n \in \IN [/tex], und [tex] \Delta \subset \IR [/tex] enthalte mindestens [tex] n+1 [/tex] Elemente. Betrachte die folgenden [tex] n+1 [/tex] Funktionen [tex] f_{k} : \Delta \rightarrow \IR [/tex] : Es ist [tex]f_{k}(x):=x^{k} [/tex] für [tex] x \in \Delta [/tex] und [tex] k = 0,...,n [/tex].
Zeigen sie: Die Funktionen [tex] f_{0},...,f_{n} [/tex] sind linear unabhängig im Vektorraum aller Funktionen von [tex] \Delta [/tex] nach [tex] \IR [/tex]. |
Aloha hé,
an der Aufgabe zerbreche ich mir nun schon eine Weile den Kopf. In Anbetracht dessen, dass wir eine ähnliche Aufgabe schon mal hatten, habe ich versucht sie analog zu lösen: Mit einer Vandermondematrix.
Angefangen habe ich mit:
Seien [tex] a_{0},...,a_{n} [/tex] reelle Zahlen und gilt [tex] a_{0}f_{0}(x)+...+a_{n}f_{n}(x)=0[/tex] so soll [tex] a_{0}=....=a_{n} [/tex] gelten.
Soweit so fein. Nun stellt sich mir natürlich dich Frage, inwieweit sich die Einschränkung von [tex] \IR [/tex] auf [tex] \Delta [/tex] im Definitionsbereich auf die Möglichkeit der Beweisführung auswirkt.
Im Tutorium bekamen wir den Hinweis den ![[]](/images/popup.gif) Fundamentalsatz der Algebra zu verwenden. Nachdem ich in meinem Ana-Buch nachgeschaut habe, kommen wir ernsthafte Zweifel: Gilt der Fundamentalsatz nicht nur in [tex] \IC [/tex] ?
Aber selbst wenn ich ihn benutzen dürfte, weiß ich nicht wirklich, was mir diese Erkenntnis liefert... Durch den Fundamentalsatz weiß ich, dass ein Polynom, wie das oben angegebene gerade n Nullstellen hat und sich entsprechend in Linearfaktoren zerlegen lässt. Aber wenn ich das mache, dann erhalte ich ja gerade [tex] a_{i} [/tex] die trotzdem zu [tex] a_{0}f_{0}(x)+...+a_{n}f_{n}(x)=0[/tex] führen...
Vielleicht sieht ja jemand meinen Überlegungsfehler oder kann mich auf einen Ansatz führen. Da wäre ich riesig froh.
Namárie,
sagt ein Lary, wo weitergrübeln geht.
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Du machst alles ganz richtig:
> Seien [tex]a_{0},...,a_{n}[/tex] reelle Zahlen und gilt
> [tex]a_{0}f_{0}(x)+...+a_{n}f_{n}(x)=0[/tex] so soll [tex]a_{0}=....=a_{n}=0[/tex]
> gelten.
Du musst also nur beweisen, dass du die Nullfunktion hast.
Die Funktion, die du aufgeschrieben hast, hat maximal den Grad n (falls [mm] a_{n}\ne [/mm] 0) und damit maximal n Nullstellen (Fundamentalsatz). Sie soll aber für alle n+1 verschiedenen Elemente aus
[mm] \Delta [/mm] Null werden. Dann kann es nur die Nullfunktion selber sein, also sind alle [mm] a_i [/mm] = 0 und damit die [mm] f_i [/mm] linear unabhängig.
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