konsistenter Schätzer für E, V < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:52 Do 21.06.2012 | | Autor: | Flo00 |
| Aufgabe | | Beweise, dass [mm] $\bar{X}:= \frac{1}{n}(X_1+\ldots+X_n)$ [/mm] und [mm] $s^2(n):=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2$ [/mm] konsistente Schätzfolgen für Mittelwert und Varianz sind. (Dabei seien die [mm] $X_i$ [/mm] unabhängig und identisch [mm] $P_{\theta}$-verteilt, [/mm] so dass [mm] $E_{\theta}X_i [/mm] = [mm] \mu$ [/mm] und [mm] $Var_{\theta}(X_i)=\sigma$ [/mm] existieren. Für den zweiten Teil muss man auch [mm] $E_{\theta}[(X_i [/mm] - [mm] \mu)^4]\leq M<\infty$ [/mm] voraussetzen.) |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Konsistente-Schaetzfolgen-fuer-Mittelwert-und-Var
Wir hatten den Satz, dass für eine Folge [mm] $(\hat{g}^{(n)})$ [/mm] erwartungstreuer Schätzer gilt:
[mm] $\forall \theta \in \Theta [/mm] : [mm] \lim_{n \to \infty} Var_\theta[\hat{g}^{(n)}(x^{(n)})] [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow (\hat{g}^{(n)})$ [/mm] ist konsistent
(Das es erwartungstreue Schätzer sind, haben wir schon gezeigt.)
Also hab ich es mit der Varianz versucht:
[mm] $Var[\bar{X}(n)] [/mm] = [mm] E[\bar{X}^2(n)] [/mm] - [mm] (E[\bar{X}^2(n)])^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[x_i^2] [/mm] - [mm] \mu^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{n}nE[x_1^2] [/mm] - [mm] \mu^2 [/mm] = [mm] \sigma^2$
[/mm]
(Das zweite = gilt, weil [mm] $\bar{X}^2(n)$ [/mm] erwartungstreu ist.)
Das geht aber nicht gegen 0, weil es konstant ist.
Habe ich einen Fehler gemacht oder ist das Beispiel anders zu lösen?
Wenn Zweiteres, wie? (Brauche nur einen Ansatz)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Fr 22.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo,
vorab: Ich habe nur oberflächliches Wissen zu diesem Thema, daher bitte mit Vorsicht genießen.
> Beweise, dass [mm]\bar{X}:= \frac{1}{n}(X_1+\ldots+X_n)[/mm] und
> [mm]s^2(n):=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2[/mm]
> konsistente Schätzfolgen für Mittelwert und Varianz sind.
> (Dabei seien die [mm]X_i[/mm] unabhängig und identisch
> [mm]P_{\theta}[/mm]-verteilt, so dass [mm]E_{\theta}X_i = \mu[/mm] und
> [mm]Var_{\theta}(X_i)=\sigma[/mm] existieren. Für den zweiten Teil
> muss man auch [mm]E_{\theta}[(X_i - \mu)^4]\leq M<\infty[/mm]
> voraussetzen.)
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Konsistente-Schaetzfolgen-fuer-Mittelwert-und-Var
>
> Wir hatten den Satz, dass für eine Folge [mm](\hat{g}^{(n)})[/mm]
> erwartungstreuer Schätzer gilt:
> [mm]\forall \theta \in \Theta : \lim_{n \to \infty} Var_\theta[\hat{g}^{(n)}(x^{(n)})] = 0 \Rightarrow (\hat{g}^{(n)})[/mm]
> ist konsistent
>
> (Das es erwartungstreue Schätzer sind, haben wir schon
> gezeigt.)
> Also hab ich es mit der Varianz versucht:
> [mm]Var[\bar{X}(n)] = E[\bar{X}^2(n)] - (E[\bar{X}^2(n)])^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[x_i^2] - \mu^2 = \frac{1}{n}nE[x_1^2] - \mu^2 = \sigma^2[/mm]
>
> (Das zweite = gilt, weil [mm]\bar{X}^2(n)[/mm] erwartungstreu ist.)
Bist du dir sicher, dass [mm] "$\bar{X}$ [/mm] erwartungstreu [mm] $\Rightarrow$ $\bar{X}^2$ [/mm] erwartungstreu" gilt?
Meiner Meinung nach kann man doch so rechnen:
[mm] $Var[\bar{X}(n)]=Var[\frac{1}{n}(X_1+\ldots+X_n)]=\frac1{n^2} Var[X_1+\ldots+X_n]=\frac1{n^2}\left( Var[X_1]+\ldots+Var[X_n] \right)=\frac1{n^2}\cdot n\sigma=\ldots$
[/mm]
Das dritte Gleichheitszeichen gilt, da [mm] $X_1,\ldots,X_n$ [/mm] unabhängig und damit unkorreliert sind.
Viele Grüße
Marc
|
|
|
|
