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| Aufgabe | An welchen Stellen sind die folgenden Funktionen komplex differenzierbar? Begründen Sie jeweils über die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen als auch über den Differenzenquotienten.
i) f(z) := [mm] \overline{z}z^{2}
[/mm]
ii) f(x+iy) := [mm] x^{3}-3xy^{2}+i(3x^{2}y-y^{3}) [/mm] |
Hallo Leute,
die Argumentation über die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen hab ich geschafft und damit rausbekommen, dass die Funktion in i) nur in z=0 komplex differenzierbar ist, die Funktion in ii) hingegen ist auf ganz [mm] \IC [/mm] komplex differenzierbar.
Mich nervt jetzt allerdings, dass man dies nochmals zeigen muss und zwar mit der Definition über den Differenzenquotienten.
Bei i) habe ich: [mm] \bruch{f(z)-f(a)}{z-a} [/mm] = [mm] \bruch{\overline{z}z^{2}-\overline{a}a^{2}}{z-a} [/mm] = [mm] \bruch{z|z|^{2}-a|a|^{2}}{z-a} [/mm] wobei a [mm] \in \IC. [/mm] Jetzt müsste ich zeigen, dass dieser Bruch genau dann konvergiert (für z geht gegen a), wenn a=0 gilt, doch ich hab leider nicht den blassesten Dunst, wie ich das anstellen soll.
Bei ii) siehts auch nicht besser aus. Mit u(x,y) := [mm] x^{3}-3xy^{2} [/mm] und v(x,y) := [mm] 3x^{2}y-y^{3} [/mm] sieht man, dass u(x,y) = - v(x,y) gilt.
Setzt man dies alles in den Differenzenquotienten, so erhält man nur einen sehr unübersichtlichen Ausdruck, der mir nicht weiterhilft.
Wäre nett, wenn mir hier jemand die entscheidenden Hinweise geben könnte.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 So 11.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> An welchen Stellen sind die folgenden Funktionen komplex
> differenzierbar? Begründen Sie jeweils über die
> Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen als auch über den
> Differenzenquotienten.
>
> i) f(z) := [mm]\overline{z}z^{2}[/mm]
> Mich nervt jetzt allerdings, dass man dies nochmals zeigen
> muss und zwar mit der Definition über den
> Differenzenquotienten.
>
> Bei i) habe ich: [mm]\bruch{f(z)-f(a)}{z-a}[/mm] =
> [mm]\bruch{\overline{z}z^{2}-\overline{a}a^{2}}{z-a}[/mm] =
> [mm]\bruch{z|z|^{2}-a|a|^{2}}{z-a}[/mm] wobei a [mm]\in \IC.[/mm] Jetzt
> müsste ich zeigen, dass dieser Bruch genau dann
> konvergiert (für z geht gegen a), wenn a=0 gilt, doch ich
> hab leider nicht den blassesten Dunst, wie ich das
> anstellen soll.
Zeige zunächst, daß der Differenzenquotient für $a=0$ konvergiert.
Dies ist einfach.
Um zu zeigen, daß der Differenzenquotient für [mm] $a\ne [/mm] 0$ nicht konvergiert, gibst Du zwei Folgen komplexer Zahlen an, die beide gegen $a$ konvergieren, aber so, daß die Grenzwerte der Differenzenquotienten verschieden sind.
Versuche mal [mm] $z_n=a*(1+1/n)$ [/mm] und [mm] $z_n=a*(1-1/n)$.
[/mm]
Reicht das schon mal?
Grüße,
Wolfgang
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Hallo Wolfgang,
vielen Dank für deine Antwort!
Die Idee, wie man jetzt zeigen soll, dass der Limes des Differenzenquotienten für a ungleich null nicht existiert ist mir klar.
Ich hab das jetzt mal mit den beiden Folgen, welche du vorgeschlagen hast, gemacht. Allerdings bekomme ich da bei beiden Grenzwerten der Differenzenquotienten dasselbe raus (nämlich null).
Habe ich mich hier verrechnet, oder muss ich noch eine andere Folge [mm] z_{n} [/mm] finden, welche für n gegen unendlich gegen a konvergiert?
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 So 11.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> vorgeschlagen hast, gemacht. Allerdings bekomme ich da bei
> beiden Grenzwerten der Differenzenquotienten dasselbe raus
> (nämlich null).
>
> Habe ich mich hier verrechnet, oder muss ich noch eine
> andere Folge [mm]z_{n}[/mm] finden, welche für n gegen unendlich
> gegen a konvergiert?
Ich hab' nochmal nachgerechnet und erhalte [mm] $3*|a|^2$ [/mm] und [mm] $-3*|a|^2$.
[/mm]
Rechne doch auch noch mal nach.
Gruß,
Wolfgang
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