grenzwert von bruch gesucht < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für [mm] n, m \in \IN [/mm] untersuche man, ob [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1,x \not=1} \bruch{x^n - 1}{x^m - 1} [/mm] existiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert. |
Mir fehlt bei diese Aufg. eine erste Idee, wie man sie anfassen Könnte. Hängt der Grenzwert davon ab, ob m<n oder nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo und herzlich Willkommen im Mathe-Raum
Gegen was soll x gehen? Du hast dort nichts geschrieben. Falls dort nichts vorgegeben wurde, muss dort vermutlich [mm] $\infty$ [/mm] stehen. Da für einen festen Wert der Limes stets existiert (d.h. für alle n,m)
Also ich nehme mal an du meinst [mm] $x\longrightarrow\infty$.
[/mm]
Dann musst Du in der Tat eine Fallunterscheidung für n und m machen, d.h.
1. Fall m>n, 2. Fall m<n, 3. Fall m=n
Versuch das mal. Wenn Du noch Fragen hast, stell sie einfach.
Gruß Denny
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ja das hab ich wohl verschlampt. x läuft gegen 1.
ausserdem wollt ich die diskussion eigentlich bei hochschule reinstellen. kann ich die noch irgendwie verschieben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 Mi 03.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo, ob Du die Kategorie noch ändern kannst weiß ich nicht.
Ich habe überings mal gerade mit Maple von deiner Aufgabe den Grenzwert berechnen lassen. Da kommt
[mm] $\frac{n}{m}$
[/mm]
raus. Vielleicht muss man doch keine Fallunterscheidung machen. Der Grenzwert ist jedefalls [mm] $\frac{n}{m}$.
[/mm]
Ciao
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Do 04.01.2007 | | Autor: | jazzman88 |
danke dann hab ich wenigstens schon mal ne richtung vorgegeben!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Do 04.01.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hi
nochmal kurz:
Mein Lösungshinweis war nicht ganz korrekt. Wenn Du die Grenzwerte im Nenner und im Zähler seperat
betrachtest, gehen beide gegen 0. Dann darfst du nach "De L'Hospital" Zähler und Nennner ableiten, (d.h.
du hast dann im Zähler
[mm] $nx^{n-1}$
[/mm]
und im Nenner
[mm] $mx^{m-1}$)
[/mm]
und anschließend dessen Grenzwert betrachten. Dieser ist für x gegen 1 gleich
[mm] $\frac{n}{m}$
[/mm]
Also musst du keine Fallunterscheidung machen.
ciao Denny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Do 04.01.2007 | | Autor: | Marc |
Hallo jazzman88,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Für [mm]n, m \in \IN[/mm] untersuche man, ob [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1,x \not=1} \bruch{x^n - 1}{x^m - 1}[/mm]
> existiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.
> Mir fehlt bei diese Aufg. eine erste Idee, wie man sie
> anfassen Könnte.
Eine Möglichkeit ist, den Bruch mit x-1 zu erweitern und dann zu entdecken, dass im Zähler und Nenner die explizite Formel für die endliche geometrische Reihe steht, also z.B.
[mm] $\summe_{k=0}^{m-1} x^k [/mm] = [mm] \bruch{x^m-1}{x-1}$
[/mm]
Die Grenzwerte von Zähler und Nenner sind dann schnell ablesbar. Wenn Du es detailierter wissen willst, frag' einfach nach 
> Hängt der Grenzwert davon ab, ob m<n oder
> nicht?
Nein (bzw. doch ja: Falls m<n, dann ist der Grenzwert > 1, andernfalls nicht  )
Viele Grüße,
Marc
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