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| Aufgabe | Untersuchen SIe die folgende Funktion auf gleichmäßige Stetigkeit:
g: (-3, 10) [mm] \to \IR
[/mm]
x [mm] \to x^{7} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also, meine Frage ist die, wie ich dies rechnerisch beweisen kann. Das Vorlesungsmaterial habe ich zichmal durchgelesen. Aber irgendwie ist mir nicht klar, wie dies nun praktisch gemacht werden soll.
Nach meiner Auffassung her würde ich sagen, dass die Funtion gleichmäßig stetig ist. denn wenn man sich den Graph von [mm] x^{7} [/mm] anguckt, dann ist dieser durchgehend in diesem Bereich von (-3, 10).
wenn mein Gedankengang richtig ist, dann hätte ich schonmal einen Graphischen beweis. aber wie kann ich das nun rechnerisch darstellen?
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Hallo,
also deine Funktion ist ja ein Polynom, oder besser ein Monom. Was wissen wir von Polynomen? Genau! Sie sind stetig. Das nutzen wir aus. Dann habt du ein Intervall gegeben, I=(-3|10). Setzte a=inf I und b=sup I. Nun untersuchst du, ob die Grenzwerte
[mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow b}f(x)
[/mm]
existieren! Das ist bei deiner Funktion ziemlich einfach, wenn du weißt, mit den Begriffen Supremum und Infimum etwas anzufangen.
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Do 19.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Natürlich kann man Sätze verwenden, die einem die gleichmäßige Stetigkeit stetiger Funktionen auf Kompakte liefern (und dann natürlich auch auf Teilmengen dieser Kompakta), aber ich denke mal ihr sollt es hier direkt zeigen, sonst wären die Zahlen nicht so "konkret".
Nutze dabei aus, dass
[mm] $|x^7 [/mm] - [mm] y^7| \le [/mm] |x-y| [mm] \cdot \sum\limits_{i=0}^6 |x^i y^{6-i}| \le [/mm] |x-y| [mm] \cdot 10^6$
[/mm]
gilt.
Liebe Grüße
Julius
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