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Forum "Uni-Lineare Algebra" - erster LA-beitrag ;)
erster LA-beitrag ;) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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erster LA-beitrag ;): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 Do 10.07.2003
Autor: ministel

ok, um jetzt auch hier mal was zu schreiben (mit LA beschäftige ich mich irgendwie nicht so wirklich gerne :/):

donnerstag ist immer LA-tag, es geht jetzt also um ne aufgabe, die ich heute schon hätte abgeben müssen... zu finden auf: http://home.mathematik.uni-freiburg.de/geometrie/la2/08.ps (oder ~.pdf, ~.dvi)
genau gehts um nummer drei... ich hab mir das heute bei nem mitstudierenden angesehen, wie er das gelöst hat, hatte aber wenig zeit, das irgendwie nachzuvollziehen und tappe daher immer noch ziemlich im dunkeln, wie ich das gezeigt bekomme (vielleicht ists auch ganz einfach; aber wie gesagt, ich habs mit LA nicht so, und da geb ich auch oft schon früher auf als bei ana zB).
in meiner übungsgruppe besprechen wir die aufgaben leider nie, sondern rechnen anwesenheitsaufgaben, und so werd ich wahrscheinlich auch weiterhin unwissend bleiben, wenn nicht einer von euch beiden sich bereit erklärt, mir zu helfen. ;)

also, jemand lust? :)

        
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erster LA-beitrag ;): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Fr 11.07.2003
Autor: Stefan

Liebe ministel,

ich muss zunächst einmal entsetzt feststellen, dass der Übungsbetrieb an manchen Unis immer noch so schlecht wie vor 10 Jahren ist. Ihr besprecht die Aufgaben in der Übung nicht??? Und bekommt dazu keine Lösungen???Eine Katastrophe!!! Die Uni Freiburg scheint schlechter zu sein als ihr Ruf...

Ich halte im Moment an der TU Darmstadt eine Übung zur Schadensversicherungsmathematik und bei mir (und nicht nur bei mir, eigentlich bei allen Übungen in Darmstadt) ist es selbstverständlich, dass die Studenten jedes Mal ausgearbeitete Musterlösungen erhalten (so um die 8-10 getexte Seiten), in meinem Fall sogar per Email-Verteiler nach Hause geschickt. Auch an der Uni Bonn war es immer völlig klar, dass ich alle Übungsaufgaben in der Übung bespreche und Musterlösungen erstelle.

Wie auch immer: Deine Aufgabe habe ich gelöst. Sie ist insofern ganz einfach, als dass man einfach das angegebene Programm durchziehen muss. Leider habe ich im Moment keine Zeit dir die Aufgabe aufzuschreiben, ich werde es aber heute oder im Laufe der nächsten Woche nachholen. Das Problem ist, dass -obwohl die Aufgabe einfach ist- relativ viel aufzuschreiben ist... (und ich leider ein wenig arbeiten muss und Gott sei dank morgen (zunächst standesamtlich) heiraten darf).

Viele Grüße schon einmal
Stefan


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erster LA-beitrag ;): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:59 Fr 11.07.2003
Autor: ministel

ja, ich finde das auch mehr als unglücklich. in meiner analysis-übung ist es so, dass wir ausschließlich unsere aufgaben besprechen, in meiner lineare algebra-übung hingegen werden doch zu 80% anwesenheitsaufgaben gerechnet, die hilfreich für das kommende blatt sein sollen. wir haben unsere tutorin schon mehrmals gefragt, ob wir nicht zumindest musterlösungen bekommen könnten, aber sie ist diesbezüglich leider nicht so engagiert, wie sie es vielleicht sein sollte. ab und zu kann sie sich dann doch nochmal durchringen, aber meistens sind es dann wirklich nur die lösungen knapp zusammengefasst (die meisten zwischenschritte ausgelassen) und ohne erklärungen (von 8 bis 10 seiten kann ich wirklich nur träumen!).
allerdings muss ich auch sagen, dass ich dieses jahr extremes pech mit meinen tutoren habe... sowohl ana- als auch la-tutor/in sind bei mir katastrophal, letztes semester war es wirklich ein traum (zwar auch keine musterlösungen, aber jedes mal unheimlich gut und ausführlich erklärt).

danke für die mühen, die du dir machst! wie gesagt, es ist nicht all zu dringend, wenn du es vorher nicht schaffst, darfst du auch erstmal heiraten! ;)
wünsch dir jedenfalls alles gute für morgen, gutes wetter scheint ihr euch ja bestellt zu haben. :)

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erster LA-beitrag ;): Komplette Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 Fr 11.07.2003
Autor: Stefan

Liebe Ministel,

also, fangen wir doch mal mit Aufgabe 3 an. Zu zeigen ist ja:

[mm](1) \, U = \bigoplus_{i=1}^s (U \cap E(\lambda_i)) .[/mm]

Nun: Wir wissen ja, dass L diagonalisierbar ist. Daher ist V die direkte Summe der zu L gehörigen Eigenräume, d.h. es gilt:

[mm]V = \bigoplus_{i=1}^s E(\lambda_i) ,[/mm]

also:

[mm](2) \, U = \left(\bigoplus_{i=1}^s E(\lambda_i)\right) \cap U.[/mm]

Zu zeigen ist also nach (1) und (2) die Beziehung:

[mm](3)\, \left(\bigoplus_{i=1}^s E(\lambda_i) \right) \cap U = \bigoplus_{i=1}^s (U \cap E(\lambda_i)) . [/mm]

Wir zeigen (3), indem wir durch Induktion nach [mm]t=1,\ldots,s[/mm] die folgende Gleichung zeigen:

[mm] (4) \, \left(\bigoplus_{i=1}^s E(\lambda_i)\right) \cap U = \left\{\bigoplus_{i=1}^t (U \cap E(\lambda_i)) \right\} \oplus \left\{\left(\bigoplus_{i=t+1}^s E(\lambda_i)\right) \cap U \right\}.[/mm]

Aus (4) folgt dann (3) für t=s.


[mm]\textbf{\underline{Induktionsanfang:}}[/mm]

Zu zeigen ist genau die Behauptung von (c), also:

[mm]\mathbf{(c) \, U = \left(\bigoplus_{i=1}^s E(\lambda_i)\right) \cap U \stackrel{(!)}{=} \left(E(\lambda_1) \cap U\right) \oplus \left\{\left(\bigoplus_{i=2}^s E(\lambda_i)\right) \cap U \right\}}.[/mm]


Um (c) zeigen zu können, beweisen wir zunächst als Hilfsaussagen die Behauptungen in (a) und (b).



[mm]{\textbf{zu (a): Behauptung:}}\ \mathbf{E(\lambda_1) \cap U =ker((L-\lambda_1 id_V)\vert U)}[/mm]


[mm] \textsc{Beweis.}[/mm] Ist [mm]x \in E(\lambda_1) \cap U[/mm], so gilt: [mm]Lx=\lambda_1 x [/mm], also: [mm]Lx-\lambda_1 x = 0[/mm] und damit: [mm]x \in ker((L-\lambda_1 id_V)\vert U)}[/mm]. Ist umgekehrt
[mm]x \in ker((L-\lambda_1 id_V)\vert U)}[/mm], so folgt: [mm]x \in U[/mm] und [mm]Lx-\lambda_1 x = 0[/mm], also: [mm]x \in E(\lambda_1) \cap U[/mm].



[mm]{\textbf{zu (b): Behauptung:}}\ \mathbf{im((L-\lambda_1 id_V)\vert U) \subseteq \bigoplus_{i=2}^s E(\lambda_i)}[/mm]


[mm] \textsc{Beweis.}[/mm] Ist [mm]y \in im((L-\lambda_1 id_V)\vert U)[/mm], so gibt es ein [mm]x \in U \subseteq V[/mm] mit [mm]y= Lx - \lambda_1 x[/mm].
Da [mm]L[/mm] diagonalisierbar ist, gibt es eine Basis von [mm]V[/mm], die aus Eigenvektoren von [mm]L[/mm] besteht. Diese Basis bezeichnen wir mit [mm](w_1,\ldots,w_s)[/mm], wobei [mm]w_i \in E(\lambda_i)[/mm] gilt. Es gibt also reelle Skalare [mm]\mu_1, \ldots, \mu_s[/mm], so dass

[mm]x = \mu_1 w_1 + \ldots + \mu_s w_s.[/mm]

Daraus folgt:

[mm]y= L x - \lambda_1 x[/mm]
[mm]= L(\mu_1 w_1 + \ldots + \mu_s w_s) - \lambda_1 \cdot(\mu_1 w_1 + \ldots + \mu_s w_s)[/mm]
[mm]= (\mu_1 \lambda_1 w_1 +\mu_2 \lambda_2 w_2 + \ldots + \mu_s \lambda_s w_s) - (\lambda_1 \mu_1 w_1 + \lambda_1 \mu_2 w_2 + \ldots + \lambda_1 \mu_s w_s)[/mm]
[mm]= \mu_2(\lambda_2 - \lambda_1) w_2 + \ldots + \mu_s(\lambda_s - \lambda_1) w_s[/mm]
[mm]\in \bigoplus_{i=2}^s E(\lambda_i)[/mm].

Daraus folgt die Behauptung.


[mm]{\textbf{zu (c): Behauptung:}}\ \mathbf{U = \left(\bigoplus_{i=1}^s E(\lambda_i)\right) \cap U \stackrel{(!)}{=} \left(E(\lambda_1) \cap U\right) \oplus \left\{\left(\bigoplus_{i=2}^s E(\lambda_i)\right) \cap U \right\}}[/mm]


[mm] \textsc{Beweis.}[/mm] Gemäß (b) gilt:  [mm]im((L-\lambda_1 id_V)\vert U) \subseteq \bigoplus_{i=2}^s E(\lambda_i)[/mm]. Da [mm]L[/mm] invariant bezüglich [mm]U[/mm] ist, ist auch [mm]L-\lambda_1 id_V[/mm] invariant bezüglich [mm]U[/mm], d.h. es gilt: [mm]im((L-\lambda_1 id_V) \vert U) \subseteq U[/mm] und damit insgesamt:

[mm] (5) \, im((L-\lambda_1 id_V)\vert U)}} \subseteq \left(\bigoplus_{i=2}^s E(\lambda_i)\right) \cap U.[/mm]

Bekanntlich gilt für einen diagonalisierbaren Endomorphismus [mm]f:V \to V[/mm] die Beziehung [mm]V=ker(f) \oplus im(f)[/mm], hier also:

[mm](6)\, U = ker((L-\lambda_1 id_V)\vert U) \oplus im((L-\lambda_1 id_V)\vert U).[/mm]

Aus Aufgabenteil (a), [mm](5)[/mm] und [mm](6)[/mm] folgt unmittelbar:

[mm](7)\, U = ker((L-\lambda_1 id_V)\vert U) \oplus im((L-\lambda_1 id_V)\vert U) \subseteq \left(E(\lambda_1) \cap U\right) \oplus \left\{(\bigoplus_{i=2}^s E(\lambda_i)) \cap U\right\}[/mm]

Da aber offenbar auch die umgekehrte Inklusion

[mm](8)\, \left(E(\lambda_1) \cap U\right) \oplus \left\{(\bigoplus_{i=2}^s E(\lambda_i)) \cap U\righ\} \subseteq U[/mm]

wahr ist, folgt aus [mm](7)[/mm] und [mm](8)[/mm] insgesamt die Behauptung:

[mm]U = \left(E(\lambda_1) \cap U\right) \oplus \left\{(\bigoplus_{i=2}^s E(\lambda_i)) \cap U\right\}. [/mm]



[mm]\textbf{\underline{Induktionsschritt:}} \ \mathbf{(t\to (t+1))}[/mm]


Nach Voraussetzung gilt:

[mm]\left(\bigoplus_{i=1}^s E(\lambda_i)\right) \cap U = \left\{\bigoplus_{i=1}^t (U \cap E(\lambda_i)) \right\} \oplus \left\{\left(\bigoplus_{i=t+1}^s E(\lambda_i)\right) \cap U \right\}.[/mm]

Zu zeigen ist:

[mm]\left(\bigoplus_{i=1}^s E(\lambda_i)\right) \cap U = \left\{\bigoplus_{i=1}^{t+1} (U \cap E(\lambda_i)) \right\} \oplus \left\{\left(\bigoplus_{i=t+2}^s E(\lambda_i)\right) \cap U \right\},[/mm]

also:

[mm](9)\, \left\{\bigoplus_{i=1}^t (U \cap E(\lambda_i)) \right\} \oplus \left\{\left(\bigoplus_{i=t+1}^s E(\lambda_i)\right) \cap U \right\}= \left\{\bigoplus_{i=1}^{t+1} (U \cap E(\lambda_i)) \right\} \oplus \left\{\left(\bigoplus_{i=t+2}^s E(\lambda_i)\right) \cap U \right\}.[/mm]

Dafür genügt es zu zeigen, dass

[mm](10) \, \left(\bigoplus_{i=t+1}^s E(\lambda_i)\right) \cap U = (U \cap E(\lambda_{t+1})) \oplus \left\{\left(\bigoplus_{i=t+2}^s E(\lambda_i)\right) \cap U \right\}[/mm]

gilt, denn aus [mm](10)[/mm] folgt offenbar unmittelbar [mm](9)[/mm].

Wir betrachten nun den Vektorraum

[mm]V':= \bigoplus_{i=t+1}^s E(\lambda_i)[/mm]

und den Unterraum:

[mm](11)\, U' = V' \cap U = \left(\bigoplus_{i=t+1}^s E(\lambda_i)\right) \cap U.[/mm]

Da [mm]L[/mm] invariant bezüglich [mm]U[/mm] und [mm]\bigoplus_{i=t+1}^s E(\lambda_i)[/mm] ist, ist [mm]L[/mm], also auch [mm]L\vert_{V'}[/mm],  invariant bezüglich [mm]U'[/mm]. Wir können also die obige Situation, genauer: den Induktionsanfang, auf das Tripel [mm](L\vert_{V'},V',U')[/mm] anwenden und erhalten:

[mm](12)\, U' = \left(E(\lambda_{t+1}) \cap U'\right) \oplus \left\{\left(\bigoplus_{i=t+2}^s E(\lambda_i)\right) \cap U' \right\}.[/mm]

Nun gilt aber offensichtlich (Eigenschaft der direkten Summe):

[mm](13)\, E(\lambda_{t+1}) \cap U' = E(\lambda_{t+1}) \cap \left(\bigoplus_{i=t+1}^s E(\lambda_i)\right) \cap U = E(\lambda_{t+1}) \cap U[/mm]

und (analog):

[mm](14)\, \left(\bigoplus_{i=t+2}^s E(\lambda_i)\right) \cap U' = \left(\bigoplus_{i=t+2}^s E(\lambda_i)\right) \cap \left(\bigoplus_{i=t+1}^s E(\lambda_i) \right) \cap U = \left(\bigoplus_{i=t+2}^s E(\lambda_i) \right) \cap U.[/mm]

Aus [mm](11)-(14)[/mm] erhalten wir nun durch Einsetzen die Behauptung [mm](10)[/mm].

Damit ist der Induktionsschritt beendet und alles gezeigt! :-)

Viele Grüße
Stefan


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erster LA-beitrag ;): Komplette Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:21 Do 02.10.2003
Autor: Sebastian

Hallo,

will ja nicht pingelig sein, aber die Behauptung
"Bekanntlich gilt für einen Endomorphismus  die Beziehung V=im(f) + ker(f) "
(nach (5) )  gilt nicht allgemein, sondern nur, wenn f diagonalisierbar ist. Das ist so etwas missverständlich.

Gruß,

Sebastian


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erster LA-beitrag ;): Komplette Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:32 Do 02.10.2003
Autor: Stefan

Hallo Sebastian,

das ist nicht kleinkariert, sondern eine gute Anmerkung. Du hast recht, es ist also das Wort "diagonalisierbare" an der entsprechenden Stelle zu ergänzen. Ich habe das jetzt entsprechend verbessert.  Zum Glück ändert sich der Beweis aber ansonsten nicht.

Vielen Dank!!

Alles Gute
Stefan



Nachricht bearbeitet (Do 02.10.03 09:29)

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erster LA-beitrag ;): Komplette Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:35 Mo 27.10.2003
Autor: ministel

Ok, jetzt hab ich endlich Zeit gefunden, dir hier nochmal drauf zu antworten. Wochenende war ziemlich stressig, daher komme ich erst jetzt dazu.

Also ich weiß noch, dass ich, als ich den Beweis damals gelesen hab, erstmal "UM GOTTES WILLEN!" gedacht hab. ;) Ich habs mir dann ausgedruckt (dürfte sogar noch abgeheftet in meinem Ordner sein ;)) und bins durchgegangen.
Ich meine behaupten zu können, dass ich es verstanden habe (habs eben nochmal durchgelesen und fand eigentlich alles verständlich), muss allerdings ganz klar sagen, dass ich das selber nie so hinbekommen hätte (gebe aber auch zu, dass LA wie gesagt nie zu meinen Leidenschaften gehörte und hab auch dieses Semester darauf verzichtet, Algebra I zu hören). Kann dabei aber auch nicht sagen, ob es daran gescheitert wäre, dass ich es wirklich nicht gekonnt hätte, oder ob es mir einfach zu viel Aufwand gewesen wäre, der zu abschreckend gewirkt hätte (auch, wenn das wohl die falsche Einstellung ist, aber bei Ana hätte ich mich da vermutlich eher motivieren können).

Das Problem war (und ist) bei der Aufgabe in meinen Augen einfach, dass da ne Menge Intuition dazu gehört. Von einer Bedingung aus kann ich verschiedene Schlüsse ziehen, bei manchen gelange ich in Sackgassen, und bei manchen gehts weiter. Aber so ein Labyrinth mit 14 Abzweigungen, wo ich jedes Mal der Gefahr laufe, in die falsche Richtung zu gehen, schreckt (zumindest) mich einfach ab. Besonders, wenn man anfangs ja noch gar nicht weiß, wieviele Sackgassen und Gabelungen es geben wird, und man immer nur merkt, dass man immer noch nicht am Ziel ist.

Es gehört wohl zu den Fähigkeiten eines guten Mathematikers, ein gutes Durchhaltevermögen zu haben, was das Lösen solcher Aufgaben angeht, aber da ich ja noch in der Ausbildung bin, hoffe ich, es mir erlauben zu können, auch mal aufzugeben. ;)

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erster LA-beitrag ;): Komplette Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:51 Mo 27.10.2003
Autor: Marc

Hallo ministel,

nett, dass du dich noch mal gemeldet hast, das wird Stefan sicher freuen.

Ich wollte auch nur schnell anmerken, dass mir der Vergleich mit dem Labyrinth ganz gut gefallen hat, so ging (und geht) es mir auch. Und ich denke, je häufiger man den Ausgang findet, desto mehr Selbstvertrauen hat man für die nächsten Male.

Alles Gute,
Marc


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erster LA-beitrag ;): Komplette Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:51 Di 28.10.2003
Autor: Stefan

Liebe Ministel,

danke für die Reaktion, schließlich will man ja auch wissen, wie etwas angekommen ist.

> Also ich weiß noch, dass ich, als ich den Beweis damals gelesen
> hab, erstmal "UM GOTTES WILLEN!" gedacht hab. ;) Ich habs mir
> dann ausgedruckt (dürfte sogar noch abgeheftet in meinem Ordner
> sein ;)) und bins durchgegangen.

Sehr löblich. :-)

> Ich meine behaupten zu können, dass ich es verstanden habe
> (habs eben nochmal durchgelesen und fand eigentlich alles
> verständlich), muss allerdings ganz klar sagen, dass ich das
> selber nie so hinbekommen hätte (gebe aber auch zu, dass LA wie
> gesagt nie zu meinen Leidenschaften gehörte und hab auch dieses
> Semester darauf verzichtet, Algebra I zu hören). Kann dabei
> aber auch nicht sagen, ob es daran gescheitert wäre, dass ich
> es wirklich nicht gekonnt hätte, oder ob es mir einfach zu viel
> Aufwand gewesen wäre, der zu abschreckend gewirkt hätte

Das kann ich mir gut vorstellen.

> (auch,
> wenn das wohl die falsche Einstellung ist, aber bei Ana hätte
> ich mich da vermutlich eher motivieren können).
>
> Das Problem war (und ist) bei der Aufgabe in meinen Augen
> einfach, dass da ne Menge Intuition dazu gehört.

Das sehe ich nicht so. Gerade bei dieser Aufgabe gehört wirklich null Intuition dazu. Das Programm war ja vorgegeben, man brauchte nur a) bis c) abzuarbeiten. Aber man muss halt zäh sein.

> Von einer
> Bedingung aus kann ich verschiedene Schlüsse ziehen, bei
> manchen gelange ich in Sackgassen, und bei manchen gehts
> weiter. Aber so ein Labyrinth mit 14 Abzweigungen, wo ich jedes
> Mal der Gefahr laufe, in die falsche Richtung zu gehen,
> schreckt (zumindest) mich einfach ab. Besonders, wenn man
> anfangs ja noch gar nicht weiß, wieviele Sackgassen und
> Gabelungen es geben wird, und man immer nur merkt, dass man
> immer noch nicht am Ziel ist.

Das kann ich allgemein sehr gut (!) nachvollziehen. Auf diese Aufgabe trifft es aber nicht zu, das war eine reine Fleißaufgaben für mathematisch nichtkreative Schimpansen (wie mich). ;-)

> Es gehört wohl zu den Fähigkeiten eines guten Mathematikers,
> ein gutes Durchhaltevermögen zu haben, was das Lösen solcher
> Aufgaben angeht, aber da ich ja noch in der Ausbildung bin,
> hoffe ich, es mir erlauben zu können, auch mal aufzugeben. ;)

Auf jeden Fall. Spätestens bei deiner Diplomarbeit wirst du viele Gelegenheiten dich in Ausdauer zu trainieren. ;-)

Es freut mich aber, dass in meiner Lösung keine weiteren Fehler zu stecken scheinen und dass sie halbwegs verständlich war.

Liebe Grüße
Stefan


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