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Forum "Uni-Lineare Algebra" - endlicher Körper
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endlicher Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 Mi 03.12.2003
Autor: Jessica

Haloo zusammen,

ich habe bei meinen neuen Multiple-Choice Aufgaben in LA ein Problem.
In einer Aufgabe sollen wir die Anzahl der Elemente der Mengen bestimmen.

Also:

Es sei K ein endlicher Körper mit q elementen. Bestimmen sie jeweils die Anzahl der Elemente in den folgenden Mengen.

1. Die Menge der 1-dimensionalen Untervektorräume von K3 für q=3.

2. Die  Menge der K-linearen Abbildungen von K2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

nach K für q=13.

3. M={phi elemnet von HomK(K2x2,K) | phi(E2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

=0} und q=3.

Könntet ihr mir vielleicht einen Tipp gehen wie ich hierbei vorgehen muss. Mir konnte bis jetzt keine so recht sagen wie dies geht.
Danke schon im vorraus
Jessica.


        
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endlicher Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Do 04.12.2003
Autor: Stefan

Liebe Jessica!

Die Aufgaben lassen sich, hoffe ich ;-), einigermaßen elegant lösen:

zu 1) : In jedem eindimensionalen Untervektorraum liegen der Nullvektor und zwei weitere Vektoren (mach dir das bitte klar). Da der [mm]K^3[/mm] gerade [mm]3^3[/mm] Elemente besitzt, gibt es

[mm]\frac{3^3-1}{2}=13[/mm]

eindimensionale Untervektorräume.

zu 2): Eine lineare Abbildung ist durch die Angabe der Bilder einer Basis eindeutig bestimmt. Eine Basis von [mm]K^2[/mm] besteht aus zwei Vektoren, als Bilder kommen 13 Skalare in Frage. Daher gibt es

[mm]13^2=169[/mm]

solcher Abbildungen.

zu 3): Auch hier gilt: Die lineare Abbildung ist durch die Angabe der Bilder der Basis eindeutig bestimmt. Ergänze [mm]E_2[/mm] zu einer Basis des [mm]K^{2\times 2}[/mm] der Länge 4. Da notwendigerweise [mm]\varphi(E_2)=0[/mm] gelten muss, sind die linearen Abbildungen in der zu betrachtenden Menge durch die Angabe der Bilder dreier Basisvektoren eindeutig bestimmt. Da 3 Skalare zur Verfügung stehen, gibt es

[mm]3^3=27[/mm]

solcher Abbildungen.

Ich hoffe ich konnte dir helfen. Frag' ruhig nach. :-)

Alles Gute
Stefan


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endlicher Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Fr 05.12.2003
Autor: Hans

Hi.
Wie sieht es denn im Z/5 mit der linearen Una bhaengigkeit von den Vektoren (3,4,4,4,2), (1,2,1,3,1), (4,1,2,1,0) und (3,1,2,2,2) aus... es muss ja die Linearkombination mit modulo gleich 0 sein fuer alle skalare, nicht fuer die vektoren selbst, richtig?
gruss hans



Nachricht bearbeitet (Fr 05.12.03 20:36)

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endlicher Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:41 Fr 05.12.2003
Autor: Stefan

Hallo Hans,

ja,  du setzt voraus, dass die Linearkombination gleich dem Nullvektor ist und musst daraus folgern, dass jedes Skalar (also jeder Vorfaktor) gleich null ist. Dann sind die vier Vektoren linear unabhängig. Versuche es doch mal und melde dich mit einer Vermutung inklusive Rechnung.

Alles Gute
Stefan

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endlicher Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Fr 05.12.2003
Autor: Stefan

Hallo Hans,

also wenn du ganz normal den Gauß-Algorithmus durchrechnest (nur halt im Körper [mm]\IZ_5[/mm] (!)), dann kommst du darauf, dass am Schluss eine Nullzeile übrigbleibt. Die Vektoren sind also linear abhängig. Versuche es mal, es geht recht schnell.

Alles Gute
Stefan


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endlicher Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:17 So 07.12.2003
Autor: Hans

Hi Stefan.
Mit dem Z/5 siehts so aus.

die vektoren waren ja
v1=(3,1,2,2,2)
v2=(4,1,2,1,0)
v3=(1,2,1,3,1)
v4=(3,4,4,4,2)
und es war gefragt nach der dimension des von v1,v2,v3,v4 aufgespannten UVR gefragt, sowie einer teilfamilie von v1,v2,v3,v4 die eine basis von diesem U ist.

Meine Idee ist inzw. wie folgt.

v4=2*v1+1*v3+3*v3, also raus damit.

dann muss ich zeigen, dass 1,2,3 lin unabh sind...
dann hab ich ja beides gezeigt...das werd ich jez gleich ma versuchen...
wenn du dein lgs reinstellen willst / koenntest, waer das natuerlich nett...schon zur kontroll, da ich mir mit dem modulo rechnen irgendwie ziemlich unsicher bin.
danke, und schoene letzte stunden des WE
hans

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endlicher Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:20 Mo 08.12.2003
Autor: Marc

Hallo Hans,

zu lösen ist dieses Lineare Gleichungssystem, welches ich als Koeffizientenmatrix schreibe:

(Die Spalte rechts ist die rechte Seite der Gleichungen)

[mm] \begin{pmatrix} 3 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} [/mm]

Vertauschen der 1. und 2. Zeile:

[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} [/mm]

Jetzt versuche ich, in der ersten Spalte (bis auf die erste Gleichung) Nullen zu erzeugen, indem ich geeignete Vielfache der ersten Zeile zu jeder der anderen Zeilen addiere:

2. Zeile := 2. Zeile + 2*1. Zeile
3. Zeile := 3. Zeile + 3*1. Zeile
4. Zeile := 4. Zeile + 3*1. Zeile
5. Zeile := 5. Zeile + 3*1. Zeile

Nochmal dazu, wie man auf die Vielfachen der 1. Zeile kommt:
Wir wollen ja eine Zahl zu den vorhandenen Koeffizienten 3,2,2,2 der 1. Spalte addieren, so dass dort gerade Null heraus kommt.
3 + ? = 0
=> 3 + 2 = 0
Also addiere ich das 2-fache der 1. Zeile zur 2. Zeile.

[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 \\ 0 & 3 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix} [/mm]

Genauso verfahre ich mit den Einträgen in der 2. Spalte unterhalb der Hauptdiagonale:

4. Zeile := 4. Zeile + 1*2. Zeile
5. Zeile := 5. Zeile + 2*2. Zeile

[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix} [/mm]

3. Zeile := 3. Zeile / 2
4. Zeile := 4. Zeile + 3. Zeile / 2
5. Zeile := 5. Zeile + 3. Zeile / 2 * 3

[mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} [/mm]

An dieser letzten Matrix sieht man nun, dass die drei Koeffizienten des LGS eindeutig bestimmt sind und alle gleich Null sind. Somit sind die drei Vektoren linear unabhängig, und der von allen vier aufgespannte Unterraum ist dreidimensional.

Noch ein Tipp, um den Arbeitsaufwand zu optimieren: Dieser Gauß-Algorithmus eignet sich auch, um direkt die Dimension des Unterraums zu bestimmen. Bei der nächsten Aufgabe dieser Art würde ich sofort mit dem Gauß-Algorithmus beginnen und die Koeffizienten-Matrix auf Dreiecksgestalt bringen. Die Dimension des von den Vektoren aufgespannten Unterraumes ist dann die Anzahl der Nicht-Nullzeilen (="Rang" der Koeffizienten-Matrix).

Alles Gute,
Marc


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endlicher Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Fr 05.12.2003
Autor: Marc

Hallo Stefan,

> zu 1) : In jedem eindimensionalen Untervektorraum liegen der
> Nullvektor und zwei weitere Vektoren (mach dir das bitte klar).

Das meinst du doch nicht allgemein, sondern speziell für den Kürper [mm] \IZ_3[/mm], oder?
Für [mm] \IZ_2[/mm] gilt es jedenfalls nicht (da besteht jeder eindimensionale Unterraum aus genau zwei Vektoren). Und es dürfte doch auch nicht (allgemein) für Körper gelten, die selbst-inverse (bzgl. Addition) Elemente haben (gibt es davon welche außer [mm]\IZ_2[/mm]?).

Viele Grüße,
Marc.


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endlicher Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Fr 05.12.2003
Autor: Stefan

Lieber Marc,

ja, klar meinte ich das speziell für [mm]\IZ_3[/mm]!

> Und es
> dürfte doch auch nicht (allgemein) für Körper gelten, die
> selbst-inverse (bzgl. Addition) Elemente haben (gibt es davon
> welche außer [mm]\IZ_2[/mm]?).

Nein, denn aus [mm]0=a+a=2a[/mm] für bereits ein [mm]a\ne 0[/mm] folgt, dass die Charakteristik des Körpers gleich 2 ist, denn dann gilt für alle [mm]x[/mm]:

[mm]x+x = a^{-1}\cdot a \cdot (x+x) = a^{-1} \cdot (ax+ax) = a^{-1} \cdot (x \cdot (a+a)) = 0[/mm]

Alles Gute
Stefan




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Bezug
endlicher Körper: Falsche Aussage ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:01 Mo 18.10.2004
Autor: Cordo

Hi,

die Behauptung, es gebe nur einen Körper der Charakteristik 2, ist natürlich falsch. Es gibt unendlich viele.

Etwa [mm] Z_2[x]/ (x^2+x+1), [/mm] Körper mit vier Elementen der Charakteristik 2.

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Bezug
endlicher Körper: Dank
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Mo 18.10.2004
Autor: Stefan

Hallo Cordo!

Danke für den Hinweise, war Blödsinn und habe ich verbessert. Musst du mich so an meine Sünden aus der längst vergessenen Vergangenheit erinnern? ;-) Da damals Marc und ich die einzigen Helfenden waren, musste ich halt mehr oder weniger alle Fragen beantworten und es gab noch nicht so viele Kontrollmöglichkeiten wie heute. ;-)

Mitterweile wäre mir der Fehler übrigens nicht mehr passiert, da ich mich in letzter Zeit auf Grund des Forums hier wieder mehr mit Algebra beschäftigt habe. ;-)

Liebe Grüße
Stefan

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Bezug
endlicher Körper: Gern geschehen!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 Mo 18.10.2004
Autor: Cordo

Hi,

ist wirklich schon länger her, aber ich bin bei suchen über google darüber gestolpert und wollte das so nicht stehen lassen ;)

Viele Grüße, Cordo.

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