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Forum "Schul-Analysis" - e-funktion, gleichung lösen??
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e-funktion, gleichung lösen??: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Sa 20.09.2003
Autor: bahia

Ich habe die Aufgabe zwar mit Hilfe des GTRs gelöst,
aber rechnerisch komme ich leider nicht weiter.

Aufgabe:
Berechnen sie die Schnittpunkte S1 und S2 der Funktion f(x)=25*(e^(0,02*x) + e^(-0,02*x) und der Geraden y=55.
Wie weit liegt der tiefste Punkt des Schaubildes von f(x)
unterhalb der Geraden y=55?

Mein Ansatz:

Mit dem GTR habe ich ermittelt: S1(22,178/55) und S2 (-22,178/55)
                                und der tiefste Punkt ist hat den
                                y-Wert 50, somit liegt er 5 Einheiten
                                unterhalb der Geraden

rechnerisch: um die Schnittpunkte rauszubekommen setzt man f(x) und y gleich. Jedoch konnte ich das ganze nur soweit auflösen:
e^(0,02*x) + e^(-0,02*x) = 27,5

Weiter kam ich leider nicht.

Und um den tiefsten Punkt rauszubekommen berechne ich das Minimum der
Funktion, dass heißt ich setze die erste Ableitung gleich null.
Doch bei der Auflösung komm ich ebenso nicht weiter.

Wäre echt nett, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
Schonmal vielen Dank.

Gruß
bahia


        
Bezug
e-funktion, gleichung lösen??: e-Funktion, Gleichung lösen??
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Sa 20.09.2003
Autor: Marc

Hallo bahia,

gerade eben hatte ich erst die neue Portalsoftware für den MatheRaum installiert und schon hast du bewiesen, dass sie funktioniert. Super, herzlich willkommen also im MatheRaum :-)

Deine Idee, die beiden Funktionsgleichungen gleichzusetzen, ist natürlich richtig, obwohl ich dann nicht so richtig verstehe, wie man da auf
e^(0,02*x) + e^(-0,02*x) = 27,5
kommen kann.

Ich versuche es mal selbst:
[mm]f(x)=25\cdot(e^{0,02\cdot x} + e^{-0,02\cdot x})[/mm]
[mm]y=55[/mm]

Gleichgesetzt:
[mm]55=25\cdot(e^{0,02\cdot x} + e^{-0,02\cdot x})[/mm]
[mm]\Leftrightarrow 11=5\cdot(e^{0,02\cdot x} + e^{-0,02\cdot x})[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{11}{5}=e^{0,02\cdot x} + e^{-0,02\cdot x}[/mm]
[mm]\Leftrightarrow \frac{11}{5}=e^{0,02\cdot x} + e^{-0,02\cdot x}[/mm]
Ich multipliziere die Gleichung mit [mm]e^{0,02\cdot x}[/mm]:
[mm]\Leftrightarrow \frac{11}{5}\cdot e^{0,02\cdot x}=\left(e^{0,02\cdot x}\right)^2 + 1[/mm]
Jetzt --finde ich-- sieht man schon ganz schön, dass das [mm]e^{0,02\cdot x}[/mm] einmal quadratisch und einmal linear (also ohne Quadrat) in der Gleichung auftaucht, wir haben also eine quadratische Gleichung über den Ausdruck [mm]e^{0,02\cdot x}[/mm]. Durch Substitution wird das vielleicht noch deutlicher, ich setze: [mm]z:=e^{0,02\cdot x}[/mm] und erhalte dann:
[mm]\Leftrightarrow \frac{11}{5}\cdot z=z^2 + 1[/mm]
Noch ein bißchen umsortieren, damit die quadratische Gleichung etwas besser erkennbar ist:
[mm]\Leftrightarrow 0=z^2 -\frac{11}{5}\cdot z + 1[/mm]

Kannst du aber jetzt wieder "übernehmen"?

Falls nicht, melde dich einfach wieder, ich rechne dann weiter.
Die Gleichung für die Notwendige Bedingung des Minimums dürfte ähnlich zu lösen sein.

Viel Erfolg,
Marc


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Bezug
e-funktion, gleichung lösen??: e-Funktion, Gleichung lösen??
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:43 Mo 22.09.2003
Autor: bahia

Hi marc,

genial, habs rausbekommen. War ja gar nicht schwer, zumindest nicht mit deiner Hilfe :-) Vielen, vielen Dank. Ist echt super hier.

Bis bald
bahia

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