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Äquivalenz von Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 So 23.05.2010
Autor: XPatrickX

Hallo,

ich habe zwei Normen für [mm] $f\in C^1[0,1]$ [/mm] gegeben:

[mm] \|| f\||_a [/mm] := [mm] |f(0)|+\|f'\|_{\infty} [/mm]

[mm] \||f\||_b [/mm] := [mm] \|f\|_{\infty}+\|f'\|_{\infty}. [/mm]

Nun soll ich überprüfen, ob diese beiden Normen äquivalent sind.

Ich habe mir überlegt, dass dieses durch ein Gegenbeispiel zu widerlegen. Dazu muss ich dann nur eine Folge finden, die bzgl. der einen Norm konvergiert aber nicht bzgl. der anderen.
Aber mir fällt nichts passendes ein....

Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Viele Grüße Patrick

        
Bezug
Äquivalenz von Normen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:24 So 23.05.2010
Autor: mathmetzsch

Hi! Ich kann mich an die Aufgabe aus meiner Analysis-Vorlesung erinnern. Wenn sich bis heute abend niemand gefunden hat, schaue ich mal in meine alten Unterlagen!

Grüße, Daniel

Bezug
        
Bezug
Äquivalenz von Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:59 So 23.05.2010
Autor: Blech

Hi,

ich würde die Ungleichung

[mm] $\|f\|_b\leq K\|f\|_a$ [/mm]

mit Hilfe des Mittelwertsatzes zeigen.

ciao
Stefan

Bezug
                
Bezug
Äquivalenz von Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:20 So 23.05.2010
Autor: XPatrickX


> Hi,
>  
> ich würde die Ungleichung
>  
> [mm]\|f\|_b\leq K\|f\|_a[/mm]
>  
> mit Hilfe des Mittelwertsatzes zeigen.
>  
> ciao
>  Stefan

Hallo,

aber dann müsste ich ja immer noch die Ungleichung in die andere Richtung zeigen, damit die Normen wirklich äquivalent sind.

mathmetzsch, ja das wäre super :-)

Bezug
                        
Bezug
Äquivalenz von Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 So 23.05.2010
Autor: Gonozal_IX

Die Ungleichung

[mm] $||f||_a \le ||f||_b$ [/mm] gilt trivialerweise, überleg mal warum!

MFG,
Gono.

Bezug
                                
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Äquivalenz von Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Mo 24.05.2010
Autor: XPatrickX

Hallo,

> Die Ungleichung
>  
> [mm]||f||_a \le ||f||_b[/mm] gilt trivialerweise, überleg mal
> warum!
>  

Stimmt, das ist wirklich trivial. Ist mir vorher irgendwie nicht aufgefallen.

Ich muss nun also noch
$ [mm] \|f\|_b\leq K\|f\|_a [/mm] $
zeigen.
Also  [mm] $\sup [/mm] |f(x)|+ [mm] \sup [/mm] |f'(x)| [mm] \leq [/mm] K [mm] (|f(0)|+\sup [/mm] |f'(x)|)$.

Der Mittelwert sichert mir die Existenz eines [mm] \xi, [/mm] sodass
[mm] f'(\xi)=f(1)-f(0). [/mm]

Ich schaffe es aber nun nicht richtig abzuschätzen...




Bezug
                                        
Bezug
Äquivalenz von Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:24 Mo 24.05.2010
Autor: SEcki


> Ich schaffe es aber nun nicht richtig abzuschätzen...

Klar, so geht's auch nicht richtig gut. Ersetze mal deine 1 durch ein bel. [m]x\in (0,1][/m].

SEcki

Bezug
                                                
Bezug
Äquivalenz von Normen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:50 Mo 24.05.2010
Autor: XPatrickX


> > Ich schaffe es aber nun nicht richtig abzuschätzen...
>  
> Klar, so geht's auch nicht richtig gut. Ersetze mal deine 1
> durch ein bel. [m]x\in (0,1][/m].
>  
> SEcki

Also habe ich
[mm] f'(\xi)=f(x)-f(0) [/mm] für ein [mm] \xi\in [/mm] (0,x]

Umgestellt ergibt sich
[mm] $\sup [/mm] |f'| + |f(0)| [mm] \ge \sup [/mm] |f'+f(0)| [mm] \ge |f'(\xi)+f(0)|= [/mm] |f(x)|$

Hmmmm... ich komme auch so nicht wirklich weiter. :(


Bezug
                                                        
Bezug
Äquivalenz von Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:28 Mo 24.05.2010
Autor: SEcki


> Umgestellt ergibt sich
>  [mm]\sup |f'| + |f(0)| \ge \sup |f'+f(0)| \ge |f'(\xi)+f(0)|= |f(x)|[/mm]

Wohlgemerkt - für jedes x! Also kannst du die rechte Seite durch das Supremum über diese x ersetzen.

Als nächste Aufgabe für dich: was sind die kleinsten K, so dass die Normen äquivalent sind?

SEcki

Bezug
                                                                
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Äquivalenz von Normen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:07 Di 25.05.2010
Autor: XPatrickX

Also vielleicht so?

[mm] $2(\sup_x [/mm] |f'(x)| + |f(0)|) [mm] \ge \sup_x [/mm] |f'(x)+f(0)|+ [mm] \sup_x [/mm] |f'(x)| + |f(0)| [mm] \ge |f'(\xi)+f(0)|= \sup_x [/mm] |f(x)| + [mm] \sup_x [/mm] |f'(x)| + |f(0)| [mm] \ge \sup_x [/mm] |f(x)| + [mm] \sup_x [/mm] |f'(x)|$

Umgekehrt gilt ja

[mm] $|f(0)|+\sup [/mm] |f'| [mm] \le \sup|f|+\sup [/mm] |f'|$

Also sind die Konstanten
k=1 und K=2

Bezug
                                                                        
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Äquivalenz von Normen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Do 27.05.2010
Autor: matux

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