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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 04.12.2012 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Man zeige, dass die Vektoren in [mm] \IR^{5} [/mm] linear unabhängig sind und ergänze sie zu einer Bsis des [mm] \IR^{5}.
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}, \vektor{6 \\ 7 \\ 8 \\ 9 \\ 10}, \vektor{11 \\ 12 \\ 13 \\ 14 \\ 15} [/mm] |
Hallo Zusammen!
Ich wäre noch einmal froh, wenn mir jemand sagen kann, ob ich diese Aufgabe richtig verstanden und gelöst habe:
[mm] \pmat{ 1 & 6 & 11 \\ 2 & 7 &12 \\ 3 & 8 & 13 \\ 4 & 9 & 14 \\ 5 & 10 & 15 } [/mm] --> Umformen mit Spaltenumformungen --> [mm] \pmat{1 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 0 \\ 3 & -10 & 1 \\ 4 & -15 & 1 \\ 5 & -20 & 1 }
[/mm]
Habe ich nun schon gezeigt, dass die folgenden Vektoren im [mm] \IR^{5} [/mm] linear unabhängig sind? Noch nicht oder?
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}, \vektor{0 \\ -5 \\ -10 \\ -15 \\ -20}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Ich habe nun zu diesen 3 Vektoren noch 2 weitere hinzugefügt und überprüfe dann, ob diese 5 Vektoren zueinander linear unabhängig sind?
Zu Zeigen:
[mm] \alpha*\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5} [/mm] + [mm] \beta*\vektor{0 \\ -5 \\ -10 \\ -15 \\ -20} [/mm] + [mm] \gamma*\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \delta*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
-> [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] = [mm] \gamma [/mm] = [mm] \delta [/mm] = [mm] \lambda [/mm] = 0
Ist das so richtig?
Danke und Gruss
Franhu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Di 04.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Man zeige, dass die Vektoren in [mm]\IR^{5}[/mm] linear unabhängig
> sind und ergänze sie zu einer Bsis des [mm]\IR^{5}.[/mm]
>
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}, \vektor{6 \\ 7 \\ 8 \\ 9 \\ 10}, \vektor{11 \\ 12 \\ 13 \\ 14 \\ 15}[/mm]
>
> Hallo Zusammen!
> Ich wäre noch einmal froh, wenn mir jemand sagen kann, ob
> ich diese Aufgabe richtig verstanden und gelöst habe:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 6 & 11 \\ 2 & 7 &12 \\ 3 & 8 & 13 \\ 4 & 9 & 14 \\ 5 & 10 & 15 }[/mm]
> --> Umformen mit Spaltenumformungen --> [mm]\pmat{1 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 0 \\ 3 & -10 & 1 \\ 4 & -15 & 1 \\ 5 & -20 & 1 }[/mm]
>
> Habe ich nun schon gezeigt, dass die folgenden Vektoren im
> [mm]\IR^{5}[/mm] linear unabhängig sind? Noch nicht oder?
>
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}, \vektor{0 \\ -5 \\ -10 \\ -15 \\ -20}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
>
> Ich habe nun zu diesen 3 Vektoren noch 2 weitere
> hinzugefügt und überprüfe dann, ob diese 5 Vektoren
> zueinander linear unabhängig sind?
>
> Zu Zeigen:
>
> [mm]\alpha*\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}[/mm] + [mm]\beta*\vektor{0 \\ -5 \\ -10 \\ -15 \\ -20}[/mm]
> + [mm]\gamma*\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + [mm]\delta*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\lambda*\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> -> [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm] = [mm]\gamma[/mm] = [mm]\delta[/mm] = [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> Ist das so richtig?
>
Hallo Franhu,
die drei gegebenen Vektoren [mm] $v_1, v_2$ [/mm] und [mm] $v_3$ [/mm] sind gar nicht linear unabhängig. Es ist nämlich [mm] $v_3 [/mm] = [mm] -v_1 [/mm] + [mm] 2v_2\,.$
[/mm]
Bei Deinen Spaltenumformungen hast Du Dich vertan. Die letzte Spalte ist tatsächlich der Nullvektor.
Damit wird auch alles weitere falsch.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Di 04.12.2012 | | Autor: | Franhu |
Guten Abend!
Vielen Dank für deine Korrektur. Wie muss ich nun diese Aufgabe lösen? bzw wie zeige ich dass diese Vektoren im [mm] IR^{5} [/mm] linear unabhängig sind?
Danke und Gruss
Franhu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Di 04.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Guten Abend!
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> Vielen Dank für deine Korrektur. Wie muss ich nun diese
> Aufgabe lösen? bzw wie zeige ich dass diese Vektoren im
> [mm]IR^{5}[/mm] linear unabhängig sind?
Gar nicht. Denn sie sind nicht linear unabhängig! Der dritte Vektor läßt sich doch als eine Linearkombination der ersten beiden darstellen. Daher spannen die drei Vektoren nur einen zweidimensionalen Raum auf. (Die ersten beiden Vektoren sind linear unabhängig.)
Die Aufgabe verlangt also Unmögliches.
Sowas kommt schon mal vor.
Gruß,
Wolfgang
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