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Zerlegung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Sa 04.12.2004
Autor: Roc

Zerlege Sie die Zahl 24 so in 2 Summanden das die Summe der Summenquadrate möglichst klein ist!

Ansatz:

a + b = 24

a² + b² = möglichst klein

Aber ab jetzt steht ich auf dem Schlauch...hoffe mir kann jemand helfen!

Danke
Roc

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Zerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Sa 04.12.2004
Autor: Bastiane


> Zerlege Sie die Zahl 24 so in 2 Summanden das die Summe der
> Summenquadrate möglichst klein ist!
>  
> Ansatz:
>  
> a + b = 24
>  
> a² + b² = möglichst klein
>  
> Aber ab jetzt steht ich auf dem Schlauch...hoffe mir kann
> jemand helfen!
>  
> Danke
>  Roc

Hallo Roc!
Macht ihr vielleicht gerade Extremwertaufgaben? :-)
Also, dein Anfang ist schon mal richtig. Im Prinzip hast du ja jetzt die Funktion [mm] f(a,b)=a^2+b^2, [/mm] für diese Funktion sollst du nun ein Minimum finden, also muss die erste Ableitung gleich 0 sein (und die zweite größer 0). Da deine Funktion aber noch von a und b abhängt, musst du erst eine Varialbe eliminieren, das machst du mithilfe der ersten Gleichung:
a+b=24 [mm] \gdw [/mm] a=24-b (du kannst natürlich auch nach b auflösen, das ist total wurscht!)
Nun setzt du das in deine Funktion f ein, die damit nur noch von b abhängt:
[mm] f(b)=(24-b)^2+b^2 [/mm] = [mm] 576-48b+2b^2 [/mm]
Nun berechnest du die Ableitung und setzt sie gleich 0:
f'(b)=-48+4b
Nullstelle: b=12
Nun noch a ausgerechnet: a=12
und schon bist du fertig!
Ist das soweit klar? Sonst frag nochmal nach! ;-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]
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Zerlegung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Sa 04.12.2004
Autor: Roc

Ja genau Extremwertaufgaben. :(

Das 12 die lösung ist bin ich durch überlegung auch darauf gekommen. ;)
Das die erste ableitung = 0 ist logisch. Soweit war ich auch schon nur das man die gleichung  a + b =24 nach a= 24 -b umstellt darauf bin ich nicht gekommen. :)

Aber wieso lautet die erste ableitung -48 + 4B????? Bei mir lautet sie 48 - 2b + 2b = 48 Aber dann würde das Ergebniss wiederum nicht stimmen... :((
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Zerlegung: Ableitung von Polynomen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Sa 04.12.2004
Autor: Peter_Pein

Hi Roc,
wenn ich mich da mal einmischen darf:

Es geht darum, f(b)= [mm] 576-48b+2b^2 [/mm]  nach b abzuleiten.

es ist also (wegen der Linearität des Ableitungsoperators):

$f'(b) = 567' - (48 b)' + [mm] (2b^{2})'$ [/mm]
$       = 0      -  48  + [mm] 2*(2*b^{2-1})$ [/mm]
$       =         - 48   + 4*b$

Gruß,
Peter

P.S.: ich habe versucht, die Zeilen tabellarisch untereinander zu setzen, aber das scheiterte an meiner offenbar unzulänglichen Kenntnis dieses ultra-schnellen Formelsystems :-(

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Zerlegung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Sa 04.12.2004
Autor: Roc

Ok danke Peter! Jetzt hab ich es verstanden! (24 - b)² ist ne binomische Formel. :) Das war das problem. Hab es nun verstanden1

Danke für eure hilfe!
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