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Hallo,
ich soll Beispiele und Gegenbeispiele für ZPE-Ringe finden. Meine erste Frage wäre, ob es da Standardbeispiele gibt und die zweite Frage, wie man das überhaupt beweisen kann? Also ich kenne zwar die Definition, aber ich weiß nicht so richtig, wie ich jetzt bei einem Integritätsbereich nachweisen kann, dass es ein ZPE-Ring ist..
Vielen Dank für eure Hilfe,
Manuela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Do 25.01.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
kurze Antwort: Ein Gegenbeispiel findest Du bei Wikipedia unter ![[]](/images/popup.gif) ZPE-Ring. In der englischen Version des Artikels sind sogar noch ein paar mehr.
Hoffe, das hilft.
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Hallo,
es ist i.A. nicht so leicht zu zeigen, dass ein Ring ZPE-Ring ist. Allerdings kann man einige Sachen ausnutzen.
1. Jeder euklidische- und jeder Hauptidelaring ist ZPE-Ring. Diese Sätze kann man beweisen und findest du mit Sicherheit in jedem Algebra-Skript. Z.B. ist [mm] (\IZ,+,*) [/mm] ein euklidischer Ring, der Polynomring K[x] über einem Körper K oder [mm] \IZ[i]:=\{a+bi|a,b\in\IZ\} [/mm] auch. Beispiele für HI-Ringe findest du im Wiki-Artikel.
2. Außerdem ist in ZPE-Ringen jedes unzerlegbare Primelement und umgekehrt. So lassen sich leicht Gegenbeispiele finden. Z.B. ist in [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] die 2 unzerlegbar aber kein Primelement. Damit ist [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] kein ZPE-Ring.
Viele Grüße
Daniel
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