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Wurzel Komplexe Zahl: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 So 20.05.2012
Autor: qsxqsx

Hallo,

Ich kann es zwar beweisen, jedoch nur auf meine Art und Weise. Die Aufgabe ist aber:

Beweise, dass
[mm] \wurzel{R \pm i*J} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}*(\wurzel{R^{2} + J^{2}} + R)} \pm (i)*\wurzel{\bruch{1}{2}*(\wurzel{R^{2} + J^{2}} - R)} [/mm]

(PS: das i wurde jetzt eingefügt)

mit hilfe von
1. [mm] sin(x)^{2} [/mm] + [mm] cos(x)^{2} [/mm] = 1
2. [mm] e^{a}*e^{b} [/mm] = [mm] e^{a + b} [/mm]
3. dass immaginärteil J und Realteil R orthognal zueinander sind

Ich kann es leider nur Beweisen mit
1. sin(x/2) = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1 - cos(x)}{2}} [/mm]
2. cos(arctan(x)) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1 + x^{2}}} [/mm]

Danke für Hilfe.

Grüsse

        
Bezug
Wurzel Komplexe Zahl: Plus-Minus-Orgie.
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:59 So 20.05.2012
Autor: Helbig

Hallo,
>  
> Ich kann es zwar beweisen, jedoch nur auf meine Art und
> Weise. Die Aufgabe ist aber:
>  
> Beweise, dass
> [mm]\wurzel{R \pm i*J}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}*(\wurzel{R^{2} + J^{2}} + R)} \pm \wurzel{\bruch{1}{2}*(\wurzel{R^{2} + J^{2}} - R)}[/mm]
>  

Zunächst fehlt ein $i$ vor der zweiten großen Wurzel, also

[mm]\wurzel{R \pm i*J}[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}*(\wurzel{R^{2} + J^{2}} + R)} \pm i*\wurzel{\bruch{1}{2}*(\wurzel{R^{2} + J^{2}} - R)}[/mm]

Für [mm] $0\le [/mm] J$ liefert die korrigierte Formel eine der beiden Wurzeln von $R+i*J$, für $J<0$ gar keine. Daher ist mir auch völlig schleierhaft, wie Du was beweisen konntest.

> mit hilfe von
>  1. [mm]sin(x)^{2}[/mm] + [mm]cos(x)^{2}[/mm] = 1
>  2. [mm]e^{a}*e^{b}[/mm] = [mm]e^{a + b}[/mm]
>  3. dass immaginärteil J und
> Realteil R orthognal zueinander sind

Real- und Imaginärteil sind beides reelle Zahlen, können also gar nicht orthogonal zueinander sein. Allerdings sind $i*J$ und $R$ sehr wohl orthogonal zusammen. Wie in der Formel ist das $i$ auch hier wichtig!

Tut mir leid, aber weiter kann ich hier nicht helfen, da ich nicht weiß, was Ihr schon benutzen dürft.

Grüße,
Wolfgang

Bezug
                
Bezug
Wurzel Komplexe Zahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:17 So 20.05.2012
Autor: qsxqsx

Danke für deine Antwort. Ja ich meinte R und iJ sind orthogonal.

Wir dürfen alles "schon" benutzen, aber wir sollen es hald hier nur auf diese eine Art und weise Zeigen.

Meine Methode wäre:

[mm] \wurzel{R + iJ} [/mm] = [mm] \wurzel{z} [/mm] = [mm] \wurzel{|z|}*e^{i \phi/2} [/mm] = [mm] \wurzel{R^{2} + J^{2}}*(cos(\phi/2) [/mm] + [mm] i*sin(\phi/2)) [/mm]

Für den Realteil gilt dann:
[mm] Re[\wurzel{R + iJ}] [/mm] = [mm] \wurzel{R^{2} + J^{2}}*cos(\phi/2) [/mm] = [mm] \wurzel{R^{2} + J^{2}}*cos(arctan(\bruch{J}{R})/2) [/mm] = [mm] \wurzel{R^{2} + J^{2}}*\wurzel{\bruch{1 + cos(arctan(\bruch{J}{R}))}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{R^{2} + J^{2}}*\wurzel{\bruch{1 + \bruch{1}{\wurzel{1 + (J/R)^{2}}}}{2}} [/mm] = ...

Also jetz aber ist mein Weg nicht nach dem Sollweg:(.

Grüsse

Bezug
        
Bezug
Wurzel Komplexe Zahl: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:19 Mo 21.05.2012
Autor: fred97

Dass da ein i fehlt hat man Dir schon gesagt. Quadriere doch einfachmal die rechte Seite von


$ [mm] \wurzel{R \pm i\cdot{}J} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{R^{2} + J^{2}} + R)} \pm i\wurzel{\bruch{1}{2}\cdot{}(\wurzel{R^{2} + J^{2}} - R)} [/mm] $

FRED

Bezug
                
Bezug
Wurzel Komplexe Zahl: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:18 Mo 21.05.2012
Autor: qsxqsx

Ja ich sollts aber herleiten und nicht beweisen - sry falls ich mich falsch ausgedrückt habe.

Ich weiss jetzt wies gemeint war. Man vergleicht [mm] (e^{\phi/2})^{2} [/mm] mit [mm] (cos(\phi/2) [/mm] + [mm] isin(\phi/2))^{2} [/mm] und erhält so eine Relation zwischen [mm] cos(\phi/2) [/mm] und [mm] cos(\phi) [/mm] bzw. [mm] sin(\phi/2) [/mm] und [mm] sin(\phi). [/mm]

Danke für eure Hilfe.

Schönes Täglein

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