Würfelaufgabe < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein fairer Würferl wird [mm] n\ge [/mm] 3 mal geworfen. Sei [mm] A_{ij} [/mm] das Ereignis, dass der i-te und j-te Wurf dasselbe Ereignis haben. Man zeige, dass [mm] A_{ij} (1\le [/mm] i < j [mm] \le [/mm] n) sind paarweise, aber nicht insgesamt, unabhängig. |
Hallo,
ich bitte um Hilfe bei der vorliegenden Stochastik-Aufgabe. Was unabhängig ist, ist mir klar. A,B unabhängig [mm] \gdw[/mm] [mm]P(A\cap B)=P(A)*P(B)[/mm]. Die Wahrscheinlichkeit irgendeines Ereignisses [mm] P(A_{i}) [/mm] kann ja eigentlich nur 1/6 sein. Bleibt also die Frage, was [mm]A\cap B[/mm] bzw. [mm]P(A\cap B)[/mm]. Hat da einer ne Idee? Und wie zeige ich die insgesamte NIcht-Unabhängigkeit?
Bitte um Hilfe.
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Di 14.11.2006 | | Autor: | DirkG |
Hallo Daniel,
im ersten Teil musst du zeigen [mm] $P(A_{ij} \cap A_{kl}) [/mm] = [mm] P(A_{ij}) \cdot P(A_{kl})$ [/mm] für alle [mm] $1\leq i
Der zweite Teil ist einfacher: Zeige einfach [mm] $P(A_{12}\cap A_{13} \cap A_{23}) \neq P(A_{12}) \cdot P(A_{13}) \cdot P(A_{23})$, [/mm] damit liegt keine Unabhängigkeit vor.
Gruß,
Dirk
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Hallo Dirk,
ich danke dir für deine Antwort. Mir ist aber nicht ganz klar, wie der Schnitt von zwei solchen Elementen aussieht.
Was ist denn [mm] P(A_{12}\cap A_{13} \cap A_{23}) [/mm] ? Bzw. was ist denn [mm] P(A_{ij})? [/mm] Welche Wahrscheinlichkeit hat denn ein Ereignis der Form?
Bitte noch mal um Hilfe.
Grüße, Daniel
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Du kannst Deine Aufgabenstellung so modellieren:
[mm]N_6:={1,2,...6}[/mm] sei die Augenzahl eines Wurfes.
n die Zahl der Würfe, dann ist das Ergebnis eines n-maligen Wurfes also ein Element von
[mm] (N_6)^n [/mm] und Deine zu untersuchenden Ereignisse sind Teilmengen dieser Menge
[mm]A_{ij} \in (N_6)^n[/mm]
Du kannst also die Schnittmenge wie üblich bilden. Für n=3 gilt ja z.B. (wenn Du (a,b,c,...) so interpretierst, dass a die Augenzahl beim ersten Wurf, b die Augenzahl beim zweiten Wurf und c die Augenzahl beim dritten Wurf ist.
[mm]\{(1,1,1), (1, 1, 2), (1,1,3), (2,2,1), (2,2,2)\} \subset A_{12}[/mm]
und
[mm]\{(1,1,1),(2,1,1),(1,2,2)\} \subset A_{23}[/mm]
also gilt
[mm]\{(1,1,1), (2,2,2)\} \subset (A_{12} \cap A_{23})[/mm]
Gruß
Jürgen
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