Wert einer Summe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Di 27.05.2008 | | Autor: | silencio |
| Aufgabe | Berechne für alle [mm] n\in \IN:
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)} [/mm] |
Durch Umformungen und Teleskopsumme, bin ich auf folgendes gekommen:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+2})
[/mm]
Ich weiß auch, dass:
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{(2k+1)²}= \bruch{\pi²}{8}<\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}<\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{k²}=\bruch{\pi²}{6}
[/mm]
Aber wie kann ich nun den genauen Wert der Summe für alle [mm] n\in\IN [/mm] berechnen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Di 27.05.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo silencio,
> Berechne für alle [mm]n\in \IN:[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}[/mm]
> Durch Umformungen und Teleskopsumme, bin ich auf folgendes
> gekommen:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{k(k+2)}=\bruch{1}{2}(\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+2})[/mm]
Bis auf die Benennung der Indexvariable ist das in Ordnung.
Diese endliche Summe musst du jetzt doch nur mal hinschreiben und schauen, welche Summanden sich wegheben. Die restlichen Summanden sind dann das Ergebnis.
Viele Grüße,
Marc
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