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Wiedermal ein paar Fragen zu folgenden Aufgaben:
(1)
Gegeben ist die Funktion f durch
[mm]f(x)=x²*e^-x-1, xER[/mm]
Die Funktion F mit
[mm]F(x)=-(x²+2x+2)*e^-x-1, xER[/mm]
ist eine Stammfunktion von f. Bestätigen Sie dies auf zwei verschiedene Arten.
Die 2 Arten sind in diesem Fall, integrieren und ableiten. Ableiten war kein Problem, beim integrieren weiss ich nur das ich partiell integrieren muss. Nur find ich dort nicht mal einen Ansatz ;(, Hilfe !;)
(2)
Gegeben ist die Funktionenschar ft durch:
[mm]ft(x)=- tx²+(3t+1)x , xER, tER*+ .[/mm]
Kt sei der Graph von ft.
1. Zeigen Sie, daß alle Graphen Kt zwei gemeinsame Punkte besitzen.
Dass ich die Fragestellung nicht verstehe, ist wahrscheinlich darauf zurück- zuführen, dass ich nicht weiss, was eine Funktionenschar ist. Deshalb was ist einen Funktionenschar ?
Danke für jede Hilfe ! ;)
Bis denne...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Mo 24.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Alex!
> (1)
> Gegeben ist die Funktion f durch
> [mm]f(x)=x²*e^-x-1, xER[/mm]
>
> Die Funktion F mit
> [mm]F(x)=-(x²+2x+2)*e^-x-1, xER[/mm]
>
> ist eine Stammfunktion von f. Bestätigen Sie dies auf zwei
> verschiedene Arten.
>
> Die 2 Arten sind in diesem Fall, integrieren und ableiten.
> Ableiten war kein Problem, beim integrieren weiss ich nur
> das ich partiell integrieren muss. Nur find ich dort nicht
> mal einen Ansatz ;(, Hilfe !;)
Okay, ich rechne es dir vor:
[mm]\int x^2 e^{-x-1}\, dx[/mm]
[mm] = x^2 (-e^{-x-1}) + \int 2xe^{-x-1}dx[/mm]
[mm] = -x^2 e^{-x-1} - 2xe^{-x-1} + \int 2 e^{-x-1} dx[/mm]
[mm] = -x^2 e^{-x-1} - 2xe^{-x-1} - 2e^{-x-1}[/mm]
[mm] = -(x^2 + 2x + 2)\, e^{-x-1}[/mm].
> (2)
> Gegeben ist die Funktionenschar ft durch:
> [mm]ft(x)=- tx²+(3t+1)x , xER, tER*+ .[/mm]
> Kt sei der Graph von
> ft.
> 1. Zeigen Sie, daß alle Graphen Kt zwei gemeinsame Punkte
> besitzen.
>
> Dass ich die Fragestellung nicht verstehe, ist
> wahrscheinlich darauf zurück- zuführen, dass ich nicht
> weiss, was eine Funktionenschar ist. Deshalb was ist einen
> Funktionenschar ?
Eine Funktionenschar [mm] $(f_t)_{t \in I}$ [/mm] ist einfach eine Menge von Funktionen. Für jedes feste $t [mm] \in [/mm] I$ ist [mm] $f_t$ [/mm] eine Funktion. Wenn du also [mm] $t_0$ [/mm] fest wählst, bekommst du eine von $x$ abhängige Funktion
[mm] $f_{t_0}(x)$.
[/mm]
Hiermit kannst du so rechnen wie immer. Wenn das $t$ einmal fest gewählt ist, kannst du es als Konstante betrachten, also damit so rechnen, als wäre es eine Zahl. Da du aber nicht weißt, welche der vielen möglichen Zahlen es ist und ob zum Beispiel $t<0$ oder $t>0$ gilt, musst du ab und zu eine Fallunterscheidung machen: Was passiert, wenn $t>0$ ist? Was passiert, wenn $t<0$ ist? Usw.
Das brauchen wir aber nicht.
Wir sollen zeigen: Egal, wie wir $t$ auch immer wählen, es gibt zwei Punkte, die auf allen Graphen der Funktionen [mm] $f_t$ [/mm] liegen, die also nicht von $t$ abhängen.
Dann schauen wir doch mal, welche Punkte zwei beliebige Funktionen der Funktionenschar gemeinsam haben. Wie machen wir das? Wie gewohnt, indem wir die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen.
Es [mm] seien$t_1, t_2\in \IR_+$, $t_1 \ne t_2$, [/mm] beliebig gewählt.
Dann gilt:
[mm] $-t_1 x^2 [/mm] + [mm] (3t_1 [/mm] + 1)x = [mm] -t_2 x^2 [/mm] + [mm] (3t_2 [/mm] + 1)x$
[mm]\gdw x^2 \cdot (t_1 - t_2) = x \cdot (3t_1 - 3t_2)[/mm].
Nun, was sind die beiden Schnittpunkte?
Versuche sie bitte herauszubekommen (beachte dabei bitte [mm] $t_1 [/mm] - [mm] t_2 \ne [/mm] 0$ wegen [mm] $t_1 \ne t_2$, [/mm] d.h. man darf durch [mm] $t_1-t_2$ [/mm] dividieren) und melde dich mit deinem Ergebnis oder weiteren, gezielten Fragen zu meinen Ausführungen.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Mo 24.05.2004 | | Autor: | aLeX.chill |
Danke für die bisherigen Antworten, werde mich morgen sofort an die Bearbeitung der 2. Aufgabe begeben.
Bis denne
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> [mm]\int x^2 e^{-x-1}\, dx[/mm]
>
> [mm]= x^2 (-e^{-x-1}) + \int 2xe^{-x-1}dx[/mm]
>
> [mm]= -x^2 e^{-x-1} - 2xe^{-x-1} + \int 2 e^{-x-1} dx[/mm]
>
> [mm]= -x^2 e^{-x-1} - 2xe^{-x-1} - 2e^{-x-1}[/mm]
>
> [mm]= -(x^2 + 2x + 2)\, e^{-x-1}[/mm].
Gibt es dafür eine allg. Formel ? Hab dazu nichts gescheites in meinem Matheheft gefunden.
> [mm] $-t_1 x^2 [/mm] + [mm] (3t_1 [/mm] + 1)x = [mm] -t_2 x^2 [/mm] + [mm] (3t_2 [/mm] + 1)x$
>
> [mm]\gdw x^2 \cdot (t_1 - t_2) = x \cdot (3t_1 - 3t_2)[/mm].
>
>
> Nun, was sind die beiden Schnittpunkte?
Muss ich jetz einfach nach x auflösen ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Mi 26.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo aLeX.chill,
> > [mm]\int x^2 e^{-x-1}\, dx[/mm]
> >
> > [mm]= x^2 (-e^{-x-1}) + \int 2xe^{-x-1}dx[/mm]
1. Anwendung der partiellen Integration [mm] $\uparrow$
[/mm]
> > [mm]= -x^2 e^{-x-1} - 2xe^{-x-1} + \int 2 e^{-x-1} dx[/mm]
2. Anwendung der partiellen Integration [mm] $\uparrow$
[/mm]
> > [mm]= -x^2 e^{-x-1} - 2xe^{-x-1} - 2e^{-x-1}[/mm]
> >
> > [mm]= -(x^2 + 2x + 2)\, e^{-x-1}[/mm].
>
> Gibt es dafür eine allg. Formel ? Hab dazu nichts
> gescheites in meinem Matheheft gefunden.
Wie meinst du das? Meinst du eine allg. Formel für die ganze Rechnung oder nur für die letzte Zeile?
Die ganze Rechnung ist ja die zweimalige Anwendung der partiellen Integration, und mit der letzten Zeile ist man doch fertig?!
> > [mm] $-t_1 x^2 [/mm] + [mm] (3t_1 [/mm] + 1)x = [mm] -t_2 x^2 [/mm] + [mm] (3t_2 [/mm] + 1)x$
> >
> > [mm]\gdw x^2 \cdot (t_1 - t_2) = x \cdot (3t_1 - 3t_2)[/mm].
> >
>
> >
> > Nun, was sind die beiden Schnittpunkte?
>
> Muss ich jetz einfach nach x auflösen ?
Ja, klar. Beachte dabei aber Stefans Tipp.
Viel Erfolg, bin gespannt auf deine Ergebnisse/Versuche,
Marc
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