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Forum "Schul-Analysis" - Vorbereitung auf eine Klausur
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Vorbereitung auf eine Klausur: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:46 Sa 15.11.2003
Autor: Logan

Tach Marc,

Wie gehts?
Hab da mal wieder ein paar fragen bezüglich einiger Aufgaben aus meinem Buch.
S. 18 Aufg. 17.
Da soll einem rechtwinkligem Dreieck, dessen Katheten 12 cm und 8 cm lang sind ein möglichst grosses Rechteck eingeschreiben werden, von dem zwei Seiten auf den Katheten des Dreiecks liegen. Die Extremalbedingung ist klar, einfach das Volumen des Rechtecks also V= a * b. Bei der Nebenbedingung hab ich da aber ein paar Probleme. Ich weiß lediglich, dass man die durch die Strahlensätzen bekommen kann.
In der Schule haben wir zwar kurz die Strahlensätze besprochen und auch etwas zu aufgeschrieben, aber dennoch kann ich die Aufgabe mithilfe der Strahlensätze nicht lösen.

Bei der Aufgabe 25 auf Seite 19, wollt ich nur mal wissen was eine "gerade" quadratische Pyramide ist. Was soll das mit dem Wort "gerade"

Ori

        
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Vorbereitung auf eine Klausur: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:45 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Wie gehts?

Sehr gut :-), ich hoffe, dir auch.

> Hab da mal wieder ein paar fragen bezüglich einiger Aufgaben
> aus meinem Buch.
> S. 18 Aufg. 17.
> Da soll einem rechtwinkligem Dreieck, dessen Katheten 12 cm und
> 8 cm lang sind ein möglichst grosses Rechteck eingeschreiben
> werden, von dem zwei Seiten auf den Katheten des Dreiecks
> liegen. Die Extremalbedingung ist klar, einfach das Volumen des
> Rechtecks also V= a * b. Bei der Nebenbedingung hab ich da aber

OK, die Formel ist korrekt, obwohl man bei Figuren nicht von Volumen, sondern Flächeninhalt spricht. Volumina gibt es nur bei Körpern.

> ein paar Probleme. Ich weiß lediglich, dass man die durch die
> Strahlensätzen bekommen kann.
> In der Schule haben wir zwar kurz die Strahlensätze besprochen
> und auch etwas zu aufgeschrieben, aber dennoch kann ich die
> Aufgabe mithilfe der Strahlensätze nicht lösen.

Es gibt sicher auch noch andere Wege (z.B. könnte man die Hypotenuse als Lineare Funktion beschreiben), aber die Strahlensätze zu beherrschen ist sicher kein Nachteil.

Für die Anwendung der Strahlensätze benötigen wir in der Figur zunächst zwei Strahlen und zwei Parallelen, die diese beiden Strahlen schneiden.
So gibt es schon mal bei dieser Aufgabe nur zwei Möglichkeiten, in der Figur einen Strahensatz zu erkennen, und zwar:
1. Strahl: Die Hypotenuse
2. Strahl: Eine Kathete
Parallelen: Die findest du jetzt sicher selbst :-)

Jetzt wäre eine Skizze ganz hilfreich, dafür bin ich jetzt aber zu müde, ich reiche sie auf Wunsch morgen nach ;-)

Ich beschreibe meine Skizze mal mit Worten: Bei mir ist der rechte Winkel bei A, damit sind c und b Katheten des Dreiecks, a die Hypotenuse.
b = 12cm, c = 8cm
1. Strahl: a
2. Strahl: c
Im eingezeichneten Rechteck habe ich die zu b parallele Seite mit y benannt, die zu c parallele mit x.

Jetzt gilt nach dem 2. Strahensatz:
Längerer Parellenabschnitt / Kürzeren Parellenabschnit = Strecke vom Strahlenschnittpunkt zur längeren Parellelen / Strecke vom Strahlenschnittpunt zur kürzeren Parallelen
<=> 12 / y = 8 / ( 8-x )

(Wichtig ist beim 2. Strahlensatz, dass die Längen auf dem Strahl immer vom Strahlenschnittpunkt gemessen werden; die Strecke zwischen den Parallelen auf einem Strahl sind tabu!
Das ist also die Nebenbedingung, Logan, übernehmen Sie?

> Bei der Aufgabe 25 auf Seite 19, wollt ich nur mal wissen was
> eine "gerade" quadratische Pyramide ist. Was soll das mit dem
> Wort "gerade"

Nun, es gibt auch schiefe Pyramiden. Bei geraden Pyramiden befindet sich die Pyramidenspitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche, bei schiefen irgendwo anders. Damit sind gerade Pyramiden diejenigen, die mal als Schüler zuerst kennenlernt und für die bekannten Formeln gelten.

Falls du mit diesen Tipps nicht klar kommst, melde dich einfach wieder, morgen müßte ich zu Hause sein...

Viel Erfolg,
Marc

P.S.: Wenn du deine Fragen nicht auf mich "zuschneidest" und ausdrücklich mich verlangst, wird dir vielleicht auch schneller hier (von jemand anderem) geholfen. Das nur als Hinweis, der dein Vorteil ist; ich freue mich natürlich immer, wenn ich dir helfen darf ;-)


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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:29 So 16.11.2003
Autor: Logan

Ich schreib dir mal auf wie ich das jetzt mit den Strahlensätzen verstanden habe mit Hilfe deiner Skizze.

>Ich beschreibe meine Skizze mal mit Worten: Bei mir ist der rechte Winkel >bei A, damit sind c und b Katheten des Dreiecks, a die Hypotenuse.
>b = 12cm, c = 8cm
>1. Strahl: a
>2. Strahl: c
>Im eingezeichneten Rechteck habe ich die zu b parallele Seite mit y >benannt, die zu c parallele mit x.

1. Strahlensatz
Hier brauch man ja noch ein weitere Variable z.B. f.
Bei c haben x, bei b haben wir y und bei a hab ich noch f hinzugefügt.

also gilt:

c - x / x = a - f / a und c / x = a / f

dann würde ja auch gelten

x / c - x = a / a - f und x / c = f / a

2.Strahlensatz

b / y = c / c - x und y / b = c - x / c

dann würde ja auch gelten:

c / x = b / b - y und x / c = b - y / b

Das müsste ja eigentlich richtig sein. Je nachdem wie man die Variablen vergibt, kann man das ganze ja mit + machen.
Nur ein Beispiel:

Bestünde die Seite c aus e und x, die Seite a aus f und d und die beiden Parallelen nenn ich jetzt mal y und g, wobei y die erste Streck ist der Paralellen ist und g die Zweite.

1. Strahlensatz
                    
e / x = f / d und  e + x /e = f + d /f

dann würde ja auch gelten

x / e = d / f und e / e + x = f / f + d

2. Strahlensatz

y / g = f / f + d und g / y = f + d / f

dann würde auch gelten

y / g = e / e + x und g / y e + x / e

Müsste stimmen.

Ja stimmt sollt demnächst nicht an dich addressieren, sondern allgemein. Aber du kennst mich und weißt wie du mir solche Sachen erklären musst, damit sie mir klar werden. Und deshalb hab ich nur dich angesprochen.

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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 So 16.11.2003
Autor: Logan

Nachdem man 12 / y = 8 / 8 - x nach y auflöst also y = 8 / 8 - x  / 12 und das dann in A = x * y einsetzt , also A(x) = x * 8 / 8 - x / 12 dann kürzt sich ja das x weg.
Freu mich natürlich auch wenn mir jemand anderes hilft. :-)

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Vorbereitung auf eine Klausur: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 So 16.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Logan,

deine Überlegungen sind soweit alle richtig. Man muss den 2. Strahlensatz anwenden. Die Beziehung

[mm]\frac{12}{y} = \frac{8}{8-x}[/mm]

stimmt auch. Aber dann soltest du noch mal überprüfen, wie man das nach y auflöst... ;-)

Melde dich mal mit einem neuen Versuch...

Alles Gute
Stefan


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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:50 So 16.11.2003
Autor: Logan

hmmm, ich komm da nicht drauf.
Wie soll das denn gehen. Egal mit was ich y multipliziere, ich bekomm nie y raus.

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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:57 So 16.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Logan,

du hast also:

[mm]\frac{12}{y} = \frac{8}{8-x}[/mm].

Erst einmal multiplizieren wir beide Seiten mit y:

[mm] 12 = \frac{8}{8-x} \cdot y.[/mm]

Nun multiplizieren wir mit dem Kehrbruch von [mm]\frac{8}{8-x}[/mm], also mit [mm]\frac{8-x}{8}[/mm] und erhalten:

[mm]y = 12 \cdot \frac{8-x}{8}[/mm].

Jetzt klar? :-)

Viele Grüße
Stefan


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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:59 So 16.11.2003
Autor: Logan

Ja jetzt klar:-) danke
Oh marc ist auch mal da :-)

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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:01 So 16.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Logan,

> Ja jetzt klar:-) danke

Das freut mich. Gern geschehen. :-)

> Oh marc ist auch mal da :-)

Ja, stimmt, dann übergebe ich dich jetzt mal an ihn. ;-)

Alles Gute
Stefan


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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:03 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> 1. Strahlensatz
> Hier brauch man ja noch ein weitere Variable z.B. f.
> Bei c haben x, bei b haben wir y und bei a hab ich noch f
> hinzugefügt.
>
> also gilt:
>
> c - x / x = a - f / a und c / x = a / f

>
> dann würde ja auch gelten
>
> x / c - x = a / a - f und x / c = f / a

Ja, das stimmt, obwohl der 1. Strahlensatz hier nicht interessant ist, aber es ist natürlich eine sehr gute Übung ;-)
Übrigens, klammere bitte Zähler oder Nenner, falls sie aus einem Term bestehen, damit Zweideutigkeiten ausgeschlossen werden können:
x / c - x = [mm] \frac{x}{c}-x [/mm] oder = [mm] \frac{x}{c-x} [/mm] ?
Also, falls das zweite gemeint ist, schreibe x / ( c-x ).

>
> 2.Strahlensatz
>
> b / y = c / c - x und y / b = c - x / c

[ok]

> dann würde ja auch gelten:
>
> c / x = b / b - y und x / c = b - y / b

[ok], sehr gut.

>
> Das müsste ja eigentlich richtig sein. Je nachdem wie man die
> Variablen vergibt, kann man das ganze ja mit + machen.
> Nur ein Beispiel:
>
> Bestünde die Seite c aus e und x, die Seite a aus f und d und
> die beiden Parallelen nenn ich jetzt mal y und g, wobei y die
> erste Streck ist der Paralellen ist und g die Zweite.

Ähh, eine Strecke auf einer Parallelen? Das kommt nicht im Strahlensatz vor... da hast du wohl die Strahlen und Parellelen nicht richtig zugeordnet.

> 1. Strahlensatz
>                    
> e / x = f / d und  e + x /e = f + d /f

[ok], das zweite natürlich als: (e + x) /e = (f + d) /f

> dann würde ja auch gelten
>
> x / e = d / f und e / e + x = f / f + d

[ok]

> 2. Strahlensatz
>
> y / g = f / f + d und g / y = f + d / f

Das verstehe ich nicht, s.o.

> dann würde auch gelten
>
> y / g = e / e + x und g / y e + x / e

Gruß,
Marc


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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:06 So 16.11.2003
Autor: Logan

>Ähh, eine Strecke auf einer Parallelen? Das kommt nicht im Strahlensatz >vor... da hast du wohl die Strahlen und Parellelen nicht richtig zugeordnet.

Damit meint ich einfach nur die Erste der Paralellen, damit du weißt welche ich y benannt habe bzw. welche nun g ist. :-)

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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:11 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> >Ähh, eine Strecke auf einer Parallelen? Das kommt nicht im
> Strahlensatz >vor... da hast du wohl die Strahlen und
> Parellelen nicht richtig zugeordnet.
>
> Damit meint ich einfach nur die Erste der Paralellen, damit du
> weißt welche ich y benannt habe bzw. welche nun g ist. :-)

Meiner Meinung nach waren schon alle sinnvollen Streckenabschnitte benannt, aber ich mache jetzt mal eine Skizze.

Bis gleich,
Marc


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Vorbereitung auf eine Klausur: Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

hier die Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Vorbereitung auf eine Klausur: Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:39 So 16.11.2003
Autor: Logan

Ja so hab ich das auch, nur muss man noch die Variablen anders anordnen bzw. noch einige hinzufügen, wenn man die Strahlensätze mit + bestimmen möchte so wie das im zweitem Teil meines Posts beschrieben habe.
Bezug
                                                                
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Vorbereitung auf eine Klausur: 2. Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:54 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logi,

o, dann nochmal eine zweite Skizze mit allen Bezeichnungen:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Du schreibst dann:

> y / g = f / f + d und g / y = f + d / f

Das verstehe ich immer noch nicht...

> dann würde auch gelten

>

> y / g = e / e + x und g / y e + x / e

Das ebenso wenig.

Stimmen denn unsere Skizzen überein?


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                                                                        
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Vorbereitung auf eine Klausur: 2. Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:09 So 16.11.2003
Autor: Logan

d und f musst du in deiner Skizze vertauschen, dann kommt es hin.
Bezug
                                                                                
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Vorbereitung auf eine Klausur: 2. Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:19 So 16.11.2003
Autor: Marc

Logan schrieb:

> d und f musst du in deiner Skizze vertauschen, dann kommt es
> hin.

OK, klar, habe ich jetzt verbessert.

Das ist dann aber noch immer falsch von dir:
>2. Strahlensatz
>y / g = f / f + d und g / y = f + d / f
>dann würde auch gelten
>y / g = e / e + x und g / y e + x / e

Es müßte richtig lauten:

y / ( y+g ) = f / (f+d)
oder
y / g = f / d
und wäre dann auch der 1. und nicht der 2. Strahlensatz.

Und "y / g = e / e + x" macht gar keinen Sinn und ist gar nicht mehr zu retten ;-)
Schaue dir bitte nochmal die Skizze an, und sag' mir, welche Seiten die beiden Strahlen sein sollen und was genau die Parallelen sind.

Bis gleich,
Marc.


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Vorbereitung auf eine Klausur: 2. Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:53 So 16.11.2003
Autor: Logan

Jetzt bin ich ganz durcheinander.
Wenn man deine Skizze betrachte, ohne f und d zu vertauschen dann wäre die Strahlensätze:


1. Strahlensatz

(c - x) / c = (a - d) / a und c / x = a / d

es gilt auch

c / (c - x) = a / (a - d) und x / c = f / a

2. Strahlensatz

b / y = c / (c - x) und y / b = (c - x) / c

es gilt auch c / x = b / (b - y) und x / c = (b - y) / b

Das ist doch richt oder?
So kannst du mir das ganze noch mit + machen?

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Vorbereitung auf eine Klausur: 2. Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Jetzt bin ich ganz durcheinander.
> Wenn man deine Skizze betrachte, ohne f und d zu vertauschen
> dann wäre die Strahlensätze:

(f und d sind aber schon in meiner Skizze vertauscht)

> 1. Strahlensatz
>
> (c - x) / c = (a - d) / a

[ok]

> und c / x = a / d

Das verstehe ich nicht. In meiner alten Skizze wäre es falsch, in meiner verbesserten ist es richtig.

> es gilt auch
>
> c / (c - x) = a / (a - d)

[ok]

>und x / c = f / a

Wieso jetzt f statt d? In meiner alten Skizze wäre es richtig, in meiner verbesserten müßte es lauten: x / c = d / a

> 2. Strahlensatz
>
> b / y = c / (c - x)

[ok]

> und y / b = (c - x) / c

[ok], klar.

>
> es gilt auch c / x = b / (b - y)

[ok]

> und x / c = (b - y) / b

[ok], wieder klar, da einfach nur Kehrwert.

> Das ist doch richt oder?
> So kannst du mir das ganze noch mit + machen?

OK:

1. Strahlensatz:
e / (e+x) = f / (f+d)
(Strahlenschnittpunkt bei B)

2. Strahlensatz:

(y+g) / y = (e+x) / e
(Strahlenschnittpunkt bei B)

Alles klar jetzt?

Gruß,
Marc


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Vorbereitung auf eine Klausur: 2. Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:39 So 16.11.2003
Autor: Logan

Ja ich glaub schon muss mir alles noch mal aufzeichnen und ordentlich aufschreiben. Danke sonst wär ich jetzt völlig durcheinander. :-)



Nachricht bearbeitet (So 16.11.03 16:39)

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Vorbereitung auf eine Klausur: 2. Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:47 So 16.11.2003
Autor: Logan

Hier wollte ich noch wissen auch gilt:

2. Strahlensatz

b / y = a / (a - d)

Also ob das auch mit der Seite a gilt.



Nachricht bearbeitet (So 16.11.03 22:50)

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Vorbereitung auf eine Klausur: 2. Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:50 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Hier wollte ich noch wissen auch gilt:
>
> 2. Strahlensatz
>
> b / y = a / (a - d)
>
> Also ob das auch mit der Seite a gilt.

Ja, das stimmt so (also mit meiner 2. Skizze in der jetzigen Fassung).
(B ist der Strahlenmittelpunkt.)

Gruß,
Marc


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Vorbereitung auf eine Klausur: 2. Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:54 So 16.11.2003
Autor: Logan

Ok dann wären alle meine Fragen beantwortet.
Ich sag dann mal gute Nacht. Hab schon genug gelernt in den letzten Tagen. Hoffe, ich habe dich nicht zu sehr genervt mit den vielen Fragen. :-)
Aber anscheinend machst das auch gerne. :-)Vielen Danke noch mal.

Bis dann

             Ori



Nachricht bearbeitet (So 16.11.03 22:59)

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Vorbereitung auf eine Klausur: 2. Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:57 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Ok dann wären alle meine Fragen beantwortet.
> Ich sag dann mal gute Nacht. Hab schon genug gelernt in den
> letzten Tagen. Hoffe, ich habe dich nicht zu sehr genervt mit
> den vielen Fragen. :-)
> Aber anscheinend machst das auch gerne. :-)Vielen Danke noch
> mal.

Klar :-)

Ich wünsche dir dann viel Erfolg und Glück bei der Klausur! (War die morgen oder übermorgen?)

Gruß,
Marc.


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Vorbereitung auf eine Klausur: 2. Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:59 So 16.11.2003
Autor: Logan

Morgen. Danke

Bis dann

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Vorbereitung auf eine Klausur: 2. Skizze
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:04 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Morgen. Danke

OK, dann solltest du vielleicht jetzt schlafen gehen ;-)

Gruß,
Marc


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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:15 So 16.11.2003
Autor: Logan

X ist dann 4 cm und y = 6 cm.



Nachricht bearbeitet (So 16.11.03 14:19)

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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:32 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

wo ist deine Zielfunktion geblieben?

Ich habe es jetzt aber nachgerechnet, x=4cm und y=6cm stimmen. Sehr gut :-)

gruß,
Marc



Nachricht bearbeitet (So 16.11.03 14:34)

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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:34 So 16.11.2003
Autor: Logan

Hätte da noch eine Frage zur Aufgabe 25 auf S. 19.
Extremalbedingung ist [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] c^2, [/mm] wobei b=h ist.
Nebenbedingung ist v= x * y * h / 3.
Aber was mach ich mit x, y und a?:-)

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Vorbereitung auf eine Klausur: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:46 So 16.11.2003
Autor: Marc

Hallo Logan,

> Hätte da noch eine Frage zur Aufgabe 25 auf S. 19.
> Extremalbedingung ist [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] c^2, [/mm] wobei b=h ist.

Mmh, das wird nicht so richtig klar.
Was ist z.B. a? Falls das eine Seite der quadratischen Grundfläche ist, ist die Formel falsch (denn a, h und s liegen nicht in einem rechtwinkligen Dreieck).

Für die Extremalbedingung würde ich auch noch ruhig den Term aufgelöst nach s hinschreiben und (nicht nach s², das würde ich erst in der Zielfunktion machen, damit es klarer wird).

Für deine Korrektur der obigen Extremalbedingung schlage ich folgende Bezeichnungen vor:
s: Seitenkante
h: Höhe der Pyramide
a: Quadratseite

> Nebenbedingung ist v= x * y * h / 3.
> Aber was mach ich mit x, y und a?:-)

Hier machst du es dir ja schon unnötig schwer, indem du unterschiedliche Bezeichnungen für dieselbe Streckenlänge einführst: x und y sind doch gleich lang (falls es die Seiten der Grundfläche sein sollen, ich weiß gar nicht, warum du dir überhaupt neue Namen dafür ausgedacht hast...)

Bis gleich,
Marc

PS: Ich glaube, es ist (für die Zukunft ;-)) eine ganz gute Idee, für eine Aufgabe einen neuen Thread anzufangen, da es doch recht schnell unübersichtlich wird...


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