Vollständiger Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
1+ [mm] \bruch{n}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} \le [/mm] n + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] |
Also hier muss ich ja zwei Teile ausführen.
Als erstes muss ich zeigen, dass
1+ [mm] \bruch{n}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} [/mm] gilt.
Induktionsanfang: 1+ [mm] \bruch{n}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}
[/mm]
n=0 einsetzen
linke Seite: 1+ [mm] \bruch{0}{2} [/mm] = 1
rechte Seite: [mm] \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{1} [/mm] = 1
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \le [/mm] 1
Dann kommt der Induktionsschritt:
Behauptung: 1+ [mm] \bruch{n+1}{2} \le \summe_{k=1}^{2^(n+1)} \bruch{1}{k}
[/mm]
Wie mach ich jetzt weiter?
1+ [mm] \bruch{n+1}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} [/mm] + ?
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Hallo Thomas,
ich habe Deine Frage mal aus dem andern Thread abgehängt.
Neue Aufgabe = neuer Thread, siehe Forenregeln.
> Beweisen Sie, dass für n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> 1+ [mm]\bruch{n}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} \le[/mm] n
> + [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Also hier muss ich ja zwei Teile ausführen.
Im Prinzip ja, manchmal kann man bei solchen Ungleichungsketten aber auch gleich alles mitschleifen und zusammen erledigen. Was aber immer geht, ist, beide Ungleichungen einzeln zu untersuchen.
> Als erstes muss ich zeigen, dass
> 1+ [mm]\bruch{n}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}[/mm] gilt.
>
> Induktionsanfang: 1+ [mm]\bruch{n}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}[/mm]
>
> n=0 einsetzen
> linke Seite: 1+ [mm]\bruch{0}{2}[/mm] = 1
> rechte Seite: [mm]\summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{1}[/mm] = 1
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1 [mm]\le[/mm] 1
Jetzt kommt, der Vollständigkeit halber, erstmal die Induktionsvoraussetzung.
> Dann kommt der Induktionsschritt:
> Behauptung: 1+ [mm]\bruch{n+1}{2} \le \summe_{k=1}^{2^(n+1)} \bruch{1}{k}[/mm]
Wenn ein Exponent länger als ein Zeichen ist, muss er in geschweifte Klammern.
> Wie mach ich jetzt weiter?
>
> 1+ [mm]\bruch{n+1}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}[/mm] + ?
Na, ist doch ganz offensichtlich. Jetzt hast Du die ersten [mm] 2^n [/mm] Glieder der Summation da stehen. Fehlt halt noch der Rest, also die nächsten [mm] 2^n [/mm] Glieder:
[mm] 1+\bruch{n+1}{2}\le\left(\summe_{k=1}^{2^n}\bruch{1}{k}\right)+\left(\summe_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\bruch{1}{k}\right)
[/mm]
Die linke Summe kannst Du jetzt durch die Induktionsvoraussetzung ersetzen. Für die rechte musst Du eine geeignete Abschätzung finden.
Grüße
reverend
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| Aufgabe | | 1+ [mm] \bruch{n+1}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=2^n}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k} [/mm] |
Ja, ok ich setze die Ind.voraussetzung für [mm] \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} [/mm] ein
[mm] \Rightarrow [/mm] 1+ [mm] \bruch{n+1}{2} \le [/mm] 1+ [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \summe_{k=2^n}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k}
[/mm]
Und die geeignete Abschätzung... mh naja setz ich da für das k die [mm] 2^n [/mm] ein, dann würde ja letztendlich dastehen
[mm] \Rightarrow [/mm] 1+ [mm] \bruch{n+1}{2} \le [/mm] 1+ [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^n}
[/mm]
?
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Hallo nochmal,
> 1+ [mm]\bruch{n+1}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=2^n}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k}[/mm]
> Ja, ok ich setze die
> Ind.voraussetzung für [mm]\summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}[/mm] ein
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1+ [mm]\bruch{n+1}{2} \le[/mm] 1+ [mm]\bruch{n}{2}[/mm] + [mm]\summe_{k=2^n}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k}[/mm]
Soweit ok. Man sollte es aber im nächsten Schritt erstmal vereinfachen...
[mm] \bruch{1}{2}\le\summe_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\bruch{1}{k}
[/mm]
> Und die geeignete Abschätzung... mh naja setz ich da für
> das k die [mm]2^n[/mm] ein, dann würde ja letztendlich dastehen
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 1+ [mm]\bruch{n+1}{2} \le[/mm] 1+ [mm]\bruch{n}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2^n}[/mm]
>
> ?
Nee. Das stimmt nur für n=0 und n=1. Du brauchst eine Abschätzung der Summe durch ein s, für das sicher gilt:
[mm] s\le\summe_{k=2^n\blue{+1}}^{2^{n+1}}\bruch{1}{k}
[/mm]
...damit Du im Induktionsschritt dann folgende Kette hast:
[mm] \bruch{1}{2}\le s\le\summe_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\bruch{1}{k}
[/mm]
Nun hat die Summe ja [mm] 2^n [/mm] Summanden. Jeder davon ist [mm] \ge\bruch{1}{2^{n+1}}.
[/mm]
Also wäre eine geeignete Abschätzung
[mm] \bruch{1}{2}\le\summe_{k=2n+1}^{2^{n+1}}\bruch{1}{2^{n+1}}\le\summe_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\bruch{1}{k}
[/mm]
Grüße
reverend
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Naja, ich kann es nachvollziehen, wäre aber darauf nicht gekommen.
Und wie verfahre ich jetzt weiter?
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Hallo nochmal,
> Naja, ich kann es nachvollziehen, wäre aber darauf nicht
> gekommen.
> Und wie verfahre ich jetzt weiter?
Bestimme den Wert der mittleren Summe. Damit ist der Induktionsschritt dann fertig und der Beweis erbracht.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:08 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Thomas000 |
Ich bin jetzt ein ganz schönes bisschen verwirrt.
Also ich danke euch beiden für eure rege Beteiligung an meinen Fragen. =)
Ist schön, dass es Hilfen wie euch gibt.
Hat eure Diskussion jetzt was mit den Hinweisen von reverend zu tun, also muss ich nun etwas korrigieren, oder kann ich nach reverend rechnen?
Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Mo 12.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Thomas,
> Ich bin jetzt ein ganz schönes bisschen verwirrt.
> Also ich danke euch beiden für eure rege Beteiligung an
> meinen Fragen. =)
> Ist schön, dass es Hilfen wie euch gibt.
> Hat eure Diskussion jetzt was mit den Hinweisen von
> reverend zu tun, also muss ich nun etwas korrigieren, oder
> kann ich nach reverend rechnen?
Es ist besser, Du korrigierst an einer Stelle. Wolfgang hat sie schon genannt.
Im Induktionsschritt ist ja zu zeigen:
[mm] 1+\bruch{n+1}{2}\le\summe_{k=1}^{2^{n+1}}\bruch{1}{k}
[/mm]
Der nächste Schritt ist nun der, der noch unsauber war. Richtig ist:
[mm] 1+\bruch{n+1}{2}=\blue{1+\bruch{n}{2}}+\bruch{1}{2}\le\left(\blue{\summe_{k=1}^{2^n}\bruch{1}{k}}\right)+\left(\summe_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\bruch{1}{k}\right)
[/mm]
Der blaue Teil ist die Induktionsvoraussetzung, und für den Rest der Ungleichung hast Du ja schon die Abschätzung.
Grüße
reverend
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Ok, also gilt nun zu zeigen, dass
1+ [mm] \bruch{n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} [/mm] + [mm] \summe_{k=2^n +1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k}
[/mm]
Wie stell ich das an? Kann ich für [mm] \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k} [/mm] eigentlich jetzt nicht wieder 1+ [mm] \bruch{n}{2} [/mm] einsetzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Di 13.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Thomas,
> Ok, also gilt nun zu zeigen, dass
>
> 1+ [mm]\bruch{n}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}[/mm] + [mm]\summe_{k=2^n +1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k}[/mm]
Genau! Dies ist die Induktionsbehauptung!
>
> Wie stell ich das an? Kann ich für [mm]\summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}[/mm]
> eigentlich jetzt nicht wieder 1+ [mm]\bruch{n}{2}[/mm] einsetzen?
Nein. Einsetzen könntest Du nur, wenn [mm] $1+\frac [/mm] n 2 = [mm] \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}$ [/mm] wäre. Aber dies ist im allgemeinen nicht der Fall.
Schließe etwa wie folgt:
Nach Induktionsvoraussetzung ist [mm] $1+\frac [/mm] n 2 [mm] \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}$.
[/mm]
Und mit einem extra Beweis zeigst Du [mm] $\frac [/mm] 1 2 [mm] \le \summe_{k=2^n +1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k}$.
[/mm]
Aus diesen beiden Ungleichungen folgt dann durch Addition die Induktionsbehauptung.
Gruß,
Wolfgang
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Naja dann muss ich ja zeigen, dass
[mm] \bruch{1}{2} \le \bruch{1}{2^n +1} [/mm] ist.
Ich hab jetzt für das k eben [mm] 2^n [/mm] +1 eingesetzt.
und muss ich das jetzt umformen oder wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] \summe_{k=2^n +1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k}\ne 1/2^{n+1} [/mm] $
du simmierst doch von [mm] k=2^n [/mm] +1 bis [mm] 2^{2n+1}=2*2^n [/mm]
aber reverend hat dir schon einen Top zur Abschätzung gegeben, du musst nur posts genau und langsam und gründlich lesen.
(pro post nie unter 10Min)
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Di 13.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Thomas,
> Naja dann muss ich ja zeigen, dass
>
> [mm]\bruch{1}{2} \le \bruch{1}{2^n +1}[/mm] ist.
Nein. Wieso das jetzt? Das ist voll daneben!
Wir wollen zeigen, daß die Ungleichung [mm] $\sum_{k=2^{n}+1}^{2^{n+1} }\frac [/mm] 1 k [mm] \ge \frac [/mm] 1 2$ für jedes [mm] $n\in \IN$ [/mm] gilt.
Überprüfe die Ungleichung für $n=1$, $n=2$ und $n=3$. In der Ungleichung stehen dann nur noch Zahlen, keine Variablen, und kein Summenzeichen. Und dann überlege Dir, warum diese Ungleichung auch für $n=3, n=4$ und alle weiteren natürlichen Zahlen gilt. Und wenn Du diese Begründung so aufschreibst, daß sie jeden überzeugt, der die Potenzregeln und Bruchrechnen beherrscht, hast Du den Beweis geliefert und die gesamte Aufgabe gelöst.
Gruß,
Wolfgang
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Naja reverend hat mir den Tip mit dem geeigneten s gegeben, für welches ich mir sicher sein kann, dass es [mm] \le \summe_{k=2^n +1}^{2^{n+1}} [/mm] ist
und dann hatten wir: [mm] \bruch{1}{2} \le \summe_{k=2^n +1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{2^{n+1}}\le \summe_{k=2^n +1}^{2^{n+1}} \bruch{1}{k}
[/mm]
und nun muss ich den Wert der mittleren Summe bestimmen laut Reverend.
Aber wie?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Di 13.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
schon mal was von geom. Teihe gehört?
die kommt unglaublich ift vor, d.h. man sollte sie oder Teile von ihr noch volltrunken oder verschlafen erkennen!
Gruss leduart
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Naja da ich nicht volltrunken bin und eigentlich ziemlich munter, schein ich davon noch nichts gehört zu haben.
Aber eine Erklärung würde vielleicht weiterhelfen...
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Hallo Thomas,
ich habe zum wiederholten Mal den Eindruck, dass Du mit der Summenschreibweise nicht viel anfangen kannst. Stimmt das?
> Naja da ich nicht volltrunken bin
Kann man nachholen.
> und eigentlich ziemlich munter,
Auch das geht irgendwann vorbei. 
> schein ich davon noch nichts gehört zu haben.
> Aber eine Erklärung würde vielleicht weiterhelfen...
Also....
Zu bestimmen ist [mm] \summe_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\bruch{1}{2^{n+1}}
[/mm]
Was steht da nun? Wir haben eine Laufvariable k, die bei [mm] 2^n+1 [/mm] anfängt zu laufen und bei [mm] 2^{n+1} [/mm] aufhört. Sie durchläuft also genau [mm] 2^n [/mm] Werte (nachprüfen!).
Was da summiert wird, ist aber hier gar nicht von k abhängig! Es wird also [mm] 2^n [/mm] mal der Bruch [mm] \bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] aufsummiert. Das ist ja einfach darzustellen:
[mm] 2^n*\bruch{1}{2^{n+1}}=\bruch{2^n}{2^{n+1}}=?
[/mm]
Grüße
reverend
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Mh naja mein Problem wird hier niemanden interessieren. Aber ich habe "nur" Grundkurs Mathematik absolviert, in dem wir sowas wie Summenzeichen, Induktion etc. nicht behandelt haben.
Nun ja und ich habe trotzdem die Herausforderung des Mathestudiums auf mich genommen. Ich interessiere mich dafür und bin gewillt zu lernen. ;)
also [mm] \bruch{2^n}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und das ist ja [mm] \ge \bruch{1}{2} [/mm] wie in der Behauptung.
damit wäre also der erste Teil erledigt und nun gilt zu zeigen, dass [mm] \bruch{1}{2} \le [/mm] n+ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist.
Ind.anfang: könnte ich n=0 einsetzen
linke seite: [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
rechte Seite: 0 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} \le \bruch{1}{2}
[/mm]
Ind.voraussetzung: [mm] \bruch{1}{2} \le [/mm] n+ [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Ind. behauptung: [mm] \bruch{1}{2} \le [/mm] (n+1)+ [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
Ist das wenigstens korrekt soweit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Di 13.11.2012 | | Autor: | Helbig |
>
> also [mm]\bruch{2^n}{2^{n+1}}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und das ist ja [mm]\ge \bruch{1}{2}[/mm]
> wie in der Behauptung.
Genau dies war zu zeigen und damit bist Du fertig!
>
> damit wäre also der erste Teil erledigt und nun gilt zu
> zeigen, dass [mm]\bruch{1}{2} \le[/mm] n+ [mm]\bruch{1}{2}[/mm] ist.
Ich weiß jetzt nicht, warum Du dieses zeigen willst.
Für unsere Aufgabe brauchst Du das nicht.
>
> Ind.anfang: könnte ich n=0 einsetzen
> linke seite: [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> rechte Seite: 0 + [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2} \le \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ind.voraussetzung: [mm]\bruch{1}{2} \le[/mm] n+ [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Ind. behauptung: [mm]\bruch{1}{2} \le[/mm] (n+1)+ [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Ist das wenigstens korrekt soweit?
Ja! Aber man muß nicht jede Formel, in der natürliche Zahlen vorkommen, mit Induktion beweisen. Wir wissen, daß [mm] $0\le [/mm] n$ ist. Und jetzt addiere auf beiden Seiten $1/2$. Fertig.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo reverend,
>
> > Wie mach ich jetzt weiter?
> >
> > 1+ [mm]\bruch{n+1}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}[/mm] + ?
>
> Na, ist doch ganz offensichtlich. Jetzt hast Du die ersten
> [mm]2^n[/mm] Glieder der Summation da stehen. Fehlt halt noch der
> Rest, also die nächsten [mm]2^n[/mm] Glieder:
>
> [mm]1+\bruch{n+1}{2}\le\left(\summe_{k=1}^{2^n}\bruch{1}{k}\right)+\left(\summe_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\bruch{1}{k}\right)[/mm]
>
> Die linke Summe kannst Du jetzt durch die
> Induktionsvoraussetzung ersetzen. Für die rechte musst Du
> eine geeignete Abschätzung finden.
Ich hab das Gefühl, das wird so nichts. Wenn ich Dich richtig verstehe, soll Thomas den linken Summanden durch $n+n/2$ ersetzen. Aber das ist doch eine Abschätzung in der falschen Richtung. Ich würde meinen Induktionsschritt gerade andersherum aufbauen:
$1 + [mm] \frac [/mm] {n+1} 2 = 1 + n/2 + 1/2 [mm] \le \sum_{k=1}^{2^n} [/mm] 1/k + 1/2$ Hier habe ich jetzt die Induktionsvoraussetzung benutzt.
Und jetzt kann Thomas ja $1/2 [mm] \le \sum_{k=2^n + 1}^{2^{n+1}} [/mm] 1/k$ zeigen.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Mo 12.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Wolfgang,
da verstehst Du mich falsch.
Es ist doch auch danach weiter vorgerechnet.
> > > 1+ [mm]\bruch{n+1}{2} \le \summe_{k=1}^{2^n} \bruch{1}{k}[/mm] + ?
> >
> > Na, ist doch ganz offensichtlich. Jetzt hast Du die ersten
> > [mm]2^n[/mm] Glieder der Summation da stehen. Fehlt halt noch der
> > Rest, also die nächsten [mm]2^n[/mm] Glieder:
> >
> >
> [mm]1+\bruch{n+1}{2}\le\left(\summe_{k=1}^{2^n}\bruch{1}{k}\right)+\left(\summe_{k=2^n+1}^{2^{n+1}}\bruch{1}{k}\right)[/mm]
> >
> > Die linke Summe kannst Du jetzt durch die
> > Induktionsvoraussetzung ersetzen. Für die rechte musst Du
> > eine geeignete Abschätzung finden.
>
> Ich hab das Gefühl, das wird so nichts. Wenn ich Dich
> richtig verstehe, soll Thomas den linken Summanden durch
> [mm]n+n/2[/mm] ersetzen.
Nein, er soll die Induktionsvoraussetzung [mm] 1+\tfrac{n}{2}\le\summe_{k=1}^{2^n}\bruch{1}{k} [/mm] verwenden.
An dieser Stelle wird noch nichts abgeschätzt.
> Aber das ist doch eine Abschätzung in der
> falschen Richtung. Ich würde meinen Induktionsschritt
> gerade andersherum aufbauen:
>
> [mm]1 + \frac {n+1} 2 = 1 + n/2 + 1/2 \le \sum_{k=1}^{2^n} 1/k + 1/2[/mm]
> Hier habe ich jetzt die Induktionsvoraussetzung benutzt.
>
> Und jetzt kann Thomas ja [mm]1/2 \le \sum_{k=2^n + 1}^{2^{n+1}} 1/k[/mm]
> zeigen.
Klar, das geht genauso - und ist doch kein inhaltlicher Unterschied zu "meiner" Reihenfolge?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mo 12.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo reverend.
>
> da verstehst Du mich falsch.
Ich habe Dich schon richtig verstanden. Aber man kann Dich auch falsch verstehen, und die Formulierung von Thomas läßt mich vermuten, daß er tatsächlich die erste Summe durch $n+1/2$ ersetzt hat, und das Ganze folgert er aus der Induktionsbehauptung. Das meine ich mit "falsche Richtung".
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mo 12.11.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
ah, wir kommen der Sache näher.
> > da verstehst Du mich falsch.
>
> Ich habe Dich schon richtig verstanden. Aber man kann Dich
> auch falsch verstehen, und die Formulierung von Thomas
> läßt mich vermuten, daß er tatsächlich die erste Summe
> durch [mm]n+1/2[/mm] ersetzt hat, und das Ganze folgert er aus der
> Induktionsbehauptung. Das meine ich mit "falsche
> Richtung".
Wieso ist das die falsche Richtung? Im Induktionsschritt darfst Du die Induktionsvoraussetzung ja als gegeben verwenden.
Du hast natürlich Recht, dass die IV eine Ungleichung war, darauf habe ich auch nicht geachtet.
Also: danke für den Hinweis!
Grüße
reverend
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