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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:39 Do 18.01.2007 | | Autor: | NatiSt |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden fur x ungleich 0 definierten Funktionen f1 , f2 , f3 , f4 bezuglich der Verkettung
eine Gruppe bilden und geben Sie die Gruppentafel an.
f 1: x > x
f 2: x > -x
f 3: x > 1/x
f 4: x > -1/x
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Wie macht man so was?
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Hallo NatiSt!
> Zeigen Sie, dass die folgenden fur x ungleich 0 definierten
> Funktionen f1 , f2 , f3 , f4 bezuglich der Verkettung
>
> eine Gruppe bilden und geben Sie die Gruppentafel an.
> f 1: x > x
> f 2: x > -x
>
> f 3: x > 1/x
> f 4: x > -1/x
>
> Wie macht man so was?
Ich seh' zwar keine Funktionen, sondern nur Ungleichungen, aber du musst die Gruppeneigenschaften nachweisen. Z. B. Existens eines neutralen Elementes, Assoziativität usw. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Fr 19.01.2007 | | Autor: | lilly.j |
Ich glaube nicht das es Ungleichungen sein sollen, habe die gleiche Aufgabe an der Uni Köln bekommen, und bei uns lautet due Aufgabe identisch nur das:
f 1: x -> x
f 2: x -> -x
f 3: x -> 1/x
f 4: x ->-1/x
lautet. Haber leider ebenso noch keine wirkliche Idee wie ich hier vorgehen muss, wäre für jeden Tipp ebenso dankbar!!! Muss ich nun bei jedem erstmal überprüfen, ob sie assoziativ, bzw. kommutativ sind?
Da ich bald auch Klausur schreibe, würde ich echt gerne verstehen wie das funktioniert, was Verkettungen und Guppentafeln theoretisch sind, hab ich schon gegooglet, aber bin noch nicht so in der Umsetzung fit.
Falls jemand sehr schnell helfen könnte, wäre super lieb!Muss die Aufgabe nämlich shcon am Montag abgeben...
Liebe Grüsse
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo lilly.j!
> f 1: x -> x
> f 2: x -> -x
> f 3: x -> 1/x
> f 4: x ->-1/x
> Da ich bald auch Klausur schreibe, würde ich echt gerne
> verstehen wie das funktioniert, was Verkettungen und
> Guppentafeln theoretisch sind, hab ich schon gegooglet,
> aber bin noch nicht so in der Umsetzung fit.
Kennst du denn Gruppentafeln für andere Gruppen? Das möchte ich nämlich nicht nochmal erklären - ergibt sich eigentlich, wenn man so eine sieht. Sie gibt einfach jede mögliche Verknüpfung von zwei beliebigen Elementen einer Gruppe an. Du musst also für die Gruppentafel jedes Element einmal mit jedem verknüpfen (und da nicht gegeben ist, dass sie kommutativ ist, musst du auch z. B. einmal [mm] f_1\circ f_2 [/mm] und einmal [mm] f_2\circ f_1 [/mm] berechnen). Ich mache es dir mal für ein beliebiges Beispiel vor:
[mm] f_2\circ f_3(x)=f_2(f_3(x))=f_2(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x}
[/mm]
Damit hättest du das Feld der Gruppentafel, wo [mm] f_2 [/mm] mit [mm] f_3 [/mm] verknüpft wird, ausgefüllt. Insgesamt hast du 16 Felder, die du ausfüllen musst.
Wenn du das hast, guck dir die Tafel mal genau an (wahrscheinlich fällt es schon beim Rechnen auf). Woran erkennst du ein neutrales Element? Es besagt doch, dass jedes beliebige Element damit verknüpft wieder sich selbst ergibt. Und das sieht man auch in einer Gruppentafel.
Und was sind jeweils die inversen Elemente? Sie bedeuten doch, dass wenn man ein Element mit seinem Inversen verknüpft, das neutrale Element rauskommt. Und wo findest du das in der Gruppentafel?
Für die Assoziativität musst du natürlich noch u. a. zeigen:
[mm] ((f_1\circ f_2)\circ f_3)(x)=(f_1\circ (f_2\circ f_3))(x)
[/mm]
usw. Ich weiß gerade nicht, ob man das irgendwie kürzer machen kann, indem man begründet, warum man nur einige davon berechnen muss, also müsstest du wohl alle beliebigen Kombinationen berechnen. Das heißt, naja, eine Eigenschaft kannst du doch der Gruppentafel entnehmen, die dir hier helfen kann.
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Sa 20.01.2007 | | Autor: | lilly.j |
Erstmal vielen lieben Dank für die schnelle Rückmeldung!
Damit ist mir schonmal total geholfen!
Habe die Gruppentafel fertig gestellt und gezeigt, dass allle kommutativ(abelsch) sind. Allerdings bin ich mir mit dem neutralen Element nicht ganz sicher, es besagt ja, dass sich jedes Element verknüpft mit einem, wieder sich selbst ergibt, hier in dem Fall ergab sich das nur, wenn man die Funktionen mit sich selber verknüpft hat, also
f1 mit f1 = x
f2 mit f2 = -x
f3 mit f3 = 1/x
f4 mit f4 = -1/x
Sind dann also die Ergebnisse die neutralen Elemente der Funktionen, oder die Funktion mit der ich die erste Funktion verknüpft habe?Und ist das egal, ob ich sie mit sich selber oder irgendeiner anderen Funktion verknüpfe?
Und zur Assoziativität muss ich das wie du es beschrieben hast nun mit jedem so machen und einsetzen, hab es einfach mal getan, hoffe das ist richtig?
Vielen lieben dank schonmal für die Mühe!
Ganz liebe Grüsse aus Köln
Lilly
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Hallo lilly.j!
> Erstmal vielen lieben Dank für die schnelle Rückmeldung!
> Damit ist mir schonmal total geholfen!
Gut, aber stelle Fragen demnächst doch bitte als Fragen (so dass da ein rotes Kästchen entsteht), ansonsten werden sie sehr leicht übersehen.
> Habe die Gruppentafel fertig gestellt und gezeigt, dass
> allle kommutativ(abelsch) sind. Allerdings bin ich mir mit
> dem neutralen Element nicht ganz sicher, es besagt ja, dass
> sich jedes Element verknüpft mit einem, wieder sich selbst
> ergibt, hier in dem Fall ergab sich das nur, wenn man die
> Funktionen mit sich selber verknüpft hat, also
> f1 mit f1 = x
> f2 mit f2 = -x
> f3 mit f3 = 1/x
> f4 mit f4 = -1/x
Das wundert mich aber. Es ist doch beispielsweise: [mm] (f_2\circ f_2)(x)=f_2(f_2(x))=f_2(-x)=x [/mm] und das ist doch nicht die Funktion selber!?  Vielleicht postest du mal deine Gruppentafel? (weiß nicht, ob du es hier gescheit darstellen kannst, evtl. hast du einen Scanner und kannst es einscannen? Oder irgendwie durch Kurschreibweise, aber deutlich - oder du postest doch für einzelne mal deine "Rechnungen", dann finden wir direkt den Fehler, wenn einer drin ist)
> Sind dann also die Ergebnisse die neutralen Elemente der
> Funktionen, oder die Funktion mit der ich die erste
> Funktion verknüpft habe?Und ist das egal, ob ich sie mit
> sich selber oder irgendeiner anderen Funktion verknüpfe?
Die Fragen verstehe ich nicht - ich glaube, das macht keinen Sinn. Beachte: neutrales Element gibt es in jeder Gruppe genau eins. Und das ist für alle Elemente (sogar für sich selbst) das neutrale Element. Nennen wir das neutrale Element hier einfach mal e, dann muss für alle Elemente (also die Funktionen [mm] f_1 [/mm] bis [mm] f_4) [/mm] gelten: [mm] f_1\circ e=f_1, f_2\circ e=f_2, f_3\circ e=f_3 [/mm] und [mm] f_4\circ e=f_4. [/mm] Und umgekehrt natürlich auch, also [mm] e\circ f_1=f_1 [/mm] usw.. Und natürlich auch [mm] $e\circ [/mm] e=e$ - aber da e ja eines deiner Funktionen sein muss, also entweder [mm] e=f_1 [/mm] oder [mm] e=f_2 [/mm] oder [mm] e=f_3 [/mm] oder [mm] e=f_4, [/mm] ist das da sowieso schon mit drin.
> Und zur Assoziativität muss ich das wie du es beschrieben
> hast nun mit jedem so machen und einsetzen, hab es einfach
> mal getan, hoffe das ist richtig?
Wie gesagt, aufgrund der Kommutativität musst du z. B. nicht unterscheiden zwischen:
[mm] ((f_1\circ f_2)\circ f_3)(x) [/mm] und [mm] ((f_2\circ f_1)\circ f_3)(x)
[/mm]
denn es gilt ja: [mm] f_1\circ f_2=f_2\circ f_1 [/mm] wie du bereits herausgefunden hast.
Vielleicht postest du hier aber auch mal ein paar Rechenschritte? Und probier's doch bitte mal mit unserem Formeleditor.
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Sa 20.01.2007 | | Autor: | lilly.j |
ich versuch sie mal darzustellen, hab aber selber grad gesehen, das ich mich vertan habe, jetzt wo du es gesagt hast, hatte nur auf die erste Reihe der Gruppetafel geschaut(die ja die neutralen Elemente sind, also Reihe f1 von oben nach unten ), von daher haben sich dann auch die Fragen zum neutralen Element im prinzip erledigt:
° f1 f2 f3 f4
f1 x -x 1/x -1/x
f2 -x x -1/x 1/x
f3 1/x -1/x x -x
f4 -1/x 1/x -x x
sieht also ungefähr so aus meine Tabelle(nur mit ein paar Linien dazwischen;), aber ich glaube man kann sie erkennen)... Ich hoffe auch mal, dass sie so korrekt ist
Die Kommutativität habe ich daran ja auch schon gezeigt, da ich ja jede Funktion in der Gruppentafel mit jeder verknüpft habe. Zur Assoziativität weiss ehrlich gesagt noch nicht so wirklich wie ich den Formeleditor nutzen muss, wird aber noch;), aber hab immer drei Funktionsmöglichkeiten verknüpft und Klammern unterschiedlich gesetzt und gezeigt,dass auf beiden Seiten das Gleiche rauskommt.
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Hallo lilly.j!
> ich versuch sie mal darzustellen, hab aber selber grad
> gesehen, das ich mich vertan habe, jetzt wo du es gesagt
> hast, hatte nur auf die erste Reihe der Gruppetafel
> geschaut(die ja die neutralen Elemente sind, also Reihe f1
> von oben nach unten ), von daher haben sich dann auch die
> Fragen zum neutralen Element im prinzip erledigt:
>
> ° f1 f2 f3 f4
>
> f1 x -x 1/x -1/x
> f2 -x x -1/x 1/x
> f3 1/x -1/x x -x
> f4 -1/x 1/x -x x
Ja, das sieht richtig aus. Nur habe ich anstatt der "Funktionen" die "Namen der Funktionen" selber geschrieben, also steht bei mir auf der Diagonalen beispielsweise überall [mm] f_1. [/mm] Daran sieht man dann auch genau, was das neutrale Element und was zu jedem Element das Inverse ist - allerdings weiß ich nicht - vielleicht kann man es auch so stehen lassen...
> sieht also ungefähr so aus meine Tabelle(nur mit ein paar
> Linien dazwischen;), aber ich glaube man kann sie
> erkennen)... Ich hoffe auch mal, dass sie so korrekt ist
> Die Kommutativität habe ich daran ja auch schon gezeigt,
> da ich ja jede Funktion in der Gruppentafel mit jeder
Aber Kommutativität solltest du doch gar nicht zeigen, oder? Aber ergibt sich hieraus natürlich.
> verknüpft habe. Zur Assoziativität weiss ehrlich gesagt
> noch nicht so wirklich wie ich den Formeleditor nutzen
> muss, wird aber noch;), aber hab immer drei
> Funktionsmöglichkeiten verknüpft und Klammern
> unterschiedlich gesetzt und gezeigt,dass auf beiden Seiten
> das Gleiche rauskommt.
Wenn du auf meine Formeln klickst, siehst du, wie sie geschrieben werden. Aber wenn du alle Möglichkeiten ausprobiert hast, dann wird's wohl stimmen. Weiß auch gerade gar nicht, wie viele Möglichkeiten das überhaupt sind...
Hast du dann jetzt noch irgendeine Frage?
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Sa 20.01.2007 | | Autor: | lilly.j |
Stimmt, so hätte ich das auch schreiben können, werd es noch umändern, bzw. noch hinzufügen, kann ja nie schaden!
Ansonsten hab ich grad keine Fragen mehr(noch nicht ;) )
An der Stelle nochmal ein ganz ganz liebes Dankeschön!
Bin heilfroh das du mir geholfen hast!
Mit einem Denkanstoss klappt sowas irgendwie immer vieel besser und kann sogar spass machen!
Wünsche dir noch eines schönes Wochenende!
Liebe Grüße
Lilly
DANKE
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