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Vektorräume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Sa 22.11.2003
Autor: AstridW

Hallo!
Eine kurze Frage zu der folgenden Aufgabe:

Es sei V ein Vektorraum, und es seien A, B und C Teilräume von V.
(a) Zeigen Sie: Genau dann ist Avereinigt B ein Teilraum von V, wenn A Teilmenge B oder B Teilmenge A gilt.
(b) Zeigen Sie: Ist C Teilmenge A, so gilt [mm] $A\setminus(B+C) [/mm] = [mm] (A\setminus [/mm] B)+C$.
(c) Gelten allgemein die Beziehungen $A [mm] \setminus [/mm] (B+C) = (A [mm] \setminus [/mm] B)+(A [mm] \setminus [/mm] C)$ und $A+(B [mm] \setminus [/mm] C) = [mm] (A+B)\setminus [/mm] (A+C)$?

Also die a und b habe ich eigentlich schon gelöst, nur bei der c sind wir uns nicht so ganz einig, ob das nun gilt oder nicht.
Könnt Ihr uns da vielleicht weiterhelfen???
Danke
Astrid

        
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Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Sa 22.11.2003
Autor: Marc

Hallo Astrid,

wenn du Lust hast, kannst du uns ja noch deine/eure Lösungen zu (a) und (b) schicken.

Bei (c) würde ich mal mit einfachen Vektorräumen experimentieren.
Zum Beispiel sind ja Ursprungsgeraden und Ebenen, die den Ursprung enthalten, Unterräume des [mm] \IR^3[/mm].

Wenn dann zum Beispiel B und C zwei nicht parallele Geraden durch den Ursprung sind, dann ist B+C ja eine Ebene (die von den beiden Geraden aufgespannt wird) (das "+"-Zeichen interpretiere ich als "lineare Hülle" der Vereinigungsmenge von B und C, also die Menge aller Linearkombinationen von Elementen aus [mm]B \cup C[/mm]; ich hoffe, so ist es auch von dir gemeint).

Für [mm]A=\IR^3[/mm] wäre ja dann [mm]A\setminus (B+C)[/mm] der ganze [mm]\IR^3[/mm] ohne die von B und C aufgespannte Ebene.

[mm]A\setminus B[/mm] ist der ganze [mm]\IR^3[/mm] ohne die Gerade B.
[mm]A\setminus C[/mm] ist der ganze [mm]\IR^3[/mm] ohne die Gerade C.

Nun behaupte ich aber mal, dass die lineare Hülle von [mm]A\setminus B[/mm] und [mm]A\setminus C[/mm] der ganze [mm]\IR^3[/mm] ist, dass man also durch Linearkombination die beiden fehlenden "Richtungen" erreichen kann.

Ich hoffe, ich habe mich einigermaßen verständlich ausgedrückt, sonst frage bitte nach.

Den zweiten Teil von (c) habe ich mir noch nicht angesehen, aber vielleicht hast du ja jetzt auch da eine Idee?

Viel Erfolg,
Marc


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Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Sa 22.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Astrid,

was meinst du mit [mm]A \setminus B[/mm]? Ist das mengentheoretisch gemeint (also "A ohne B") oder algebraisch (der Quotientenvektorraum von A modulo B)? Vermutlich ersteres (wie Marc es aufgefasst hat), denn im zweiten Fall geht der Strich normalerweise in die andere Richtung.

Ich will es nur zur Sicherheit noch mal wissen...

Alles Gute
Stefan


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Vektorräume: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 08:37 So 23.11.2003
Autor: AstridW

Guten Morgen!
Mein Computer hat gestern etwas gesponnen und deshlb kann ich auch jetzt erst antworten!
Dieser Strich sollte eigentlich vereinigt heißen, aber beim kopieren ist da ein Strich raus geworden.
Also richtig heißt es dann: A vereinigt (B+C)=(A vereinigt B) + (A vereinigt C)
A +(B vereinigt C)= (A+C) vereinigt (A +C) ???
Und entsprechend lautete die b: Zu zeigen: Ist C teilmenge von A, so gilt:
A vereinigt (B+C)=(A vereinigt B) +C

Astrid


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Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:35 So 23.11.2003
Autor: Lisa

Hallo Astrid,

schau doch mal im alten Skript von Herrn Pahlings nach. Da steht eine Musterlösung!

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Vektorräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:42 So 23.11.2003
Autor: Nelly

Genauer gesagt, in den Übungen zur Vorlesung LA I von 99/00.
Bezug
                        
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Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 So 23.11.2003
Autor: Marc

Hallo zusammen,

hat sich die Aufgabe jetzt geklärt?

Es wäre nett, wenn uns die Ergebnisse posten würdest, falls du die Lösungen noch nicht gefunden hast, schaue ich mir die Aufgabe nochmal an.

Gruß,
Marc.


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Vektorräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 So 23.11.2003
Autor: AstridW

Danke, ich hab´s gefunden. Mittlerwiele hatte ich zwar selbst die Lösung, aber beim selbstständigen Erarbeiten habe ich bestimmt auch etwas gelernt.
Bis dann mal
Astrid

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Vektorräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:10 Mo 24.11.2003
Autor: Marc

Hallo Astrid,

> Danke, ich hab´s gefunden. Mittlerwiele hatte ich zwar selbst

Das freut mich.

> die Lösung, aber beim selbstständigen Erarbeiten habe ich
> bestimmt auch etwas gelernt.

Magst du sie uns denn auch noch schreiben? Das wäre nett.

Viele Grüße,
Marc.


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