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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Mi 02.04.2008 | | Autor: | itse |
Hallo,
ich will nun [mm] F_0(x_0) [/mm] für f(x) = x² bestimmen passt soweit auch alles, bis zu dieser Stelle:
[mm] U_n [/mm] = [mm] \bruch{x_0³}{n³} \cdot{} [/mm] [0² + 1² + 2² + ... + (n-1)²]
für 0²+1² usw. kann man die Summenformel der ersten n Quadratzahlen benutzen, also:
[mm] U_n [/mm] = [mm] \bruch{x_0³}{n³} \cdot{}\bruch{1}{6}n(n-1)(2n-1)
[/mm]
= [mm] \bruch{x_0³}{6} \cdot{} \bruch{1}{n³}n(n-1)(2n-1)
[/mm]
= [mm] \bruch{x_0³}{6} \cdot{} \bruch{n(n-1)(2n-1)}{n³}
[/mm]
= [mm] \bruch{x_0³}{6} \cdot{} \bruch{n(n-1)(2n-1)}{n³}
[/mm]
= [mm] \bruch{x_0³}{6} \cdot{} \bruch{2n³-3n²+n}{n³}
[/mm]
= [mm] \bruch{x_0³}{6} \cdot{} [/mm] 2 [mm] -\bruch{3}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n²}
[/mm]
und nach dann noch die Grenzwertbetrachtung, passt soweit auch alles.
in der Lösung steht jedoch folgendes:
[mm] U_n [/mm] = [mm] \bruch{x_0³}{n³} \cdot{}\bruch{1}{6}n(n-1)(2n-1)
[/mm]
= [mm] \bruch{x_0³}{6} \cdot{} \bruch{n-1}{n} \cdot{} \bruch{n}{n} \cdot{} \bruch{2n-1}{n}
[/mm]
Das n im Bruch von [mm] \bruch{x_0³}{n³} [/mm] ist hoch 3 wie kann dann auf einmal das n nicht mehr in der dritten Potenz vorkommen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich will nun [mm]F_0(x_0)[/mm] für f(x) = x² bestimmen passt soweit
> auch alles, bis zu dieser Stelle:
>
> [mm]U_n[/mm] = [mm]\bruch{x_0³}{n³} \cdot{}[/mm] [0² + 1² + 2² + ... +
> (n-1)²]
>
> für 0²+1² usw. kann man die Summenformel der ersten n
> Quadratzahlen benutzen, also:
>
> [mm]U_n[/mm] = [mm]\bruch{x_0³}{n³} \cdot{}\bruch{1}{6}n(n-1)(2n-1)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{x_0³}{6} \cdot{} \bruch{1}{n³}n(n-1)(2n-1)[/mm]
>
> = [mm]\bruch{x_0³}{6} \cdot{} \bruch{n(n-1)(2n-1)}{n³}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{x_0³}{6} \cdot{} \bruch{n(n-1)(2n-1)}{n³}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{x_0³}{6} \cdot{} \bruch{2n³-3n²+n}{n³}[/mm]
Bis hierhin alles okay, wenngleich man eigentlich frühstmöglich kürzen sollte! Bei dem nächsten $=$ hast Du vergessen, eine Klammer um den Faktor zu setzen!
[mm]= \bruch{x_0³}{6} \cdot{}\red{\left(}2 -\bruch{3}{n} + \bruch{1}{n²}\red{\right)}[/mm] (I)
> und nach dann noch die Grenzwertbetrachtung, passt soweit
> auch alles.
>
> in der Lösung steht jedoch folgendes:
>
> [mm]U_n[/mm] = [mm]\bruch{x_0³}{n³} \cdot{}\bruch{1}{6}n(n-1)(2n-1)[/mm]
>
= [mm]\bruch{x_0³}{6} \cdot{} \bruch{n-1}{n} \cdot{} \bruch{n}{n} \cdot{} \bruch{2n-1}{n}[/mm] (II)
>
> Das n im Bruch von [mm]\bruch{x_0³}{n³}[/mm] ist hoch 3 wie kann
> dann auf einmal das n nicht mehr in der dritten Potenz
> vorkommen?
Ganz einfach, weil man schon bei [mm] $\bruch{n(n-1)(2n-1)}{n³}$ [/mm] erkennen sollte, dass sich das $n$ im Zähler wegkürzt:
[mm] $\bruch{n(n-1)(2n-1)}{n³}=\bruch{\blue{n}(n-1)(2n-1)}{\blue{n}*n^2}=\frac{(n-1)(2n-1)}{n^2}=\frac{2n^2-3n+1}{n^2}$
[/mm]
Du kannst natürlich auch nachrechnen, dass bei beiden Rechnungen am Ende das Gleiche steht. Vergleiche also (I) mit (II), so ist zu zeigen:
[mm] $\frac{n-1}{n}*\frac{2n-1}{n}=2 -\bruch{3}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n²}$
[/mm]
Nun gilt:
[mm] $\frac{n-1}{n}*\frac{2n-1}{n}=2 -\bruch{3}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n²}$
[/mm]
[mm] $\gdw (n-1)(2n-1)=2n^2+3n+1$
[/mm]
[mm] $\gdw 2n^2-2n-n+1=2n^2+3n+1$
[/mm]
[mm] $\gdw 2n^2+3n+1=2n^2+3n+1$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] 0=0$
Durch Verfolgen der Pfeile [mm] $\Leftarrow$ [/mm] und lesen der Rechnung von unten nach oben folgt also [mm] $\frac{n-1}{n}*\frac{2n-1}{n}=2 -\bruch{3}{n} [/mm] + [mm] \bruch{1}{n²}$ [/mm] aus der Wahrheit der Aussage $0=0$.
Gruß,
Marcel
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