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Untermannigfaltigkeit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 Mo 02.07.2012
Autor: Marschal

Aufgabe
Guten Abend. Ich hänge bei dieser Aufgabe fest: $ f,g: [mm] \IR^3\to \IR [/mm] $ mit

$ f(x, y, z) := [mm] x^2 [/mm] + xy - y - [mm] z\qquad [/mm] g(x, y, z) := [mm] 2x^2 [/mm] + 3xy - y - 3z $

Behauptung: $ [mm] M:=\{(x,y,z)\in \IR^3\ |\ f(x,y,z)=g(x,y,z)=0 \} [/mm] $ ist eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] \IR^3 [/mm]

D.h. ich muss jetzt zeigen, dass es zu jedem $ [mm] p\in [/mm] M $ eine offene Umgebung [mm] \Omega \subset \IR^3 [/mm] gibt

und

einen Diffeomorphismus $ [mm] \phi [/mm] : [mm] \Omega \to \phi (\Omega [/mm] ) $ mit $ [mm] \phi (M\cap \Omega )=(\IR^1 \times \{0\})\cap \phi (\Omega [/mm] ) $ oder?

Ich finde das alles total komisch. Muss ich jetzt erst $ M $ bestimmen oder wie gehe ich da am besten vor?

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

        
Bezug
Untermannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 Mo 02.07.2012
Autor: SEcki


> Ich finde das alles total komisch. Muss ich jetzt erst [mm]M[/mm]
> bestimmen oder wie gehe ich da am besten vor?

Mit dem Satz vom regulären Wert. Damit kommt man meist recht weit.

SEcki


Bezug
                
Bezug
Untermannigfaltigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:05 Di 03.07.2012
Autor: Marschal

Hi SEcki,

diesen Satz hatten wir leider noch nicht. Nur etwas was so ähnlich sein könnte:

"Ein Vektor $ [mm] v\in \IR^n [/mm] $ heißt Tangentialvektor von $ M [mm] \subset \IR^n [/mm] $ im Punkt $ p [mm] \in [/mm] M $, falls es eine Abbildung $ [mm] \gamma: (-\varepsilon ,\varepsilon) \to [/mm] M $ gibt mit
$ [mm] \gamma [/mm] (0) = p $ und $ [mm] \gamma [/mm] '(0) = v $. Die Menge der Tangentialvektoren von M im Punkt p wird mit $ T_pM $ bezeichnet.

Folgerung: Sei $ M [mm] \subset \IR^n [/mm] $ eine m-dimensionale [mm] C^1 [/mm] -Untermannigfaltigkeit und $ n = m+k $.
Ist $ p [mm] \in [/mm] M [mm] \cap \Omega [/mm] = [mm] f^{−1}(0) [/mm] $ für eine Funktion $ f [mm] \in C^1(\Omega [/mm] , [mm] \IR^k [/mm] ) $ mit $ rang Df = k $ auf [mm] \Omega [/mm] , so gilt $ T_pM = ker Df(p) $."

Meinst du das?

Bezug
                        
Bezug
Untermannigfaltigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:39 Di 03.07.2012
Autor: SEcki


> Meinst du das?

Nein. Aber hattet ihr weitere Umformulierungen? Alternativ, schau dir mal den Satz im Wiki an, ob du damit ein bisschen arbeiten kannst.

SEcki


Bezug
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