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Unterkörper: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:45 Sa 29.11.2003
Autor: Hans

Hi!

Hab ne kurze Frage:

Es ist V := {f: R->R} der R-VR der reellwertigen Funktionen auf R.

Zeige: Es gibt eine unendliche, echt absteigende Folge von Unterraeumen in V, das heisst, es gibt Unterraeume U Index i, fuer die jeweils gilt: U Index i+1 ist ECHTE teilmenge von U index i.

Kann ich einfach f(1)=0, f(2)=0, f(3)=0, nacheinander aus V ausschliessen, solange f(x)=0 im jeweiligen U(i) enthalten bleibt?

Vielen Dank schon mal.
Gruss Hans

        
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Unterkörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:06 So 30.11.2003
Autor: Marc

Hallo Hans,

willkommen im MatheRaum! :-)

Deine Idee, diese Folge von Unterräumen zu konstruieren, gefällt mir gut, nur verstehe ich sie nicht (das klingt widersprüchlich, aber durch sie bin ich auf eine eigene Konstruktion gekommen.)

Ich verstehe nicht, was du mit f(1)=0, f(2)=0,... meinst; das sind ja keine Funktionen, sondern nur Funktionswerte an bestimmten Stellen. Vielleicht kannst du es noch etwas deutlicher machen, wie du es meinst, ansonsten sag' einfach, ob ich dir meine Idee mitteilen soll.

Bis dann,
Marc


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Unterkörper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:51 So 30.11.2003
Autor: Hans

Hi Marc!
Das ging ja mal blitzschnell!
Ich wuerde mich sehr freuen, wenn du mir deine Idee mitteilen koenntest! Ich habe inzwischen auch ein bisschen weiter darueber nachgedacht, leider ist mir bisher nichts zwingendes eingefallen...hab mich nur ein bisschen im Kreis gedreht... dim V = oo, alle familien lin unabh, keine endliche basis, usw.

wie gesagt, waer cool, wenn du n vorschlag haettest.
Bis dann, danke.
Hans

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Unterkörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:02 So 30.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Hans,

du hast doch die Antwort bereits gegeben (allerdings schlecht aufgeschrieben). ;-) Du kannst die [mm]U_i[/mm] folgendermaßen wählen:

[mm]U_0=V,[/mm]

[mm]U_i=\{f:\IR \to \IR \, :\, f(j)=0 \quad \mbox{für} \quad j=1,2,\ldots,i\}[/mm].

Warum liefert das die zu konstruierende Familie?

Alles Gute
Stefan


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Unterkörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 So 30.11.2003
Autor: Marc

Hallo Hans, hallo Stefan,

das war auch meine "Idee". Mich hatte nur irritiert, dass Hans davon sprach, diese Funktionen "auszuschließen", dabei müßten und werden bei dieser "Idee" gerade diejenigen Funktionen nach und nach ausgeschlossen, für die an einer der Stellen j=1,...,i gilt: [mm]f(j)\neq0[/mm].

Gruß und gute Nacht,
Marc


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Unterkörper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:25 So 30.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Marc,

das stimmt. ;-) Deswegen meinte ich auch: "schlecht aufgeschrieben". (Das soll keine Kritik sein.) Ich glaube aber, Hans meinte das. Oder, Hans? ;-)

Alles Gute
Stefan


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Unterkörper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:00 So 30.11.2003
Autor: Hans

Das Ding warum ich von ausschliessen sprach war, weil die Existenz einer unendlich ABsteigenden Folge von Untervektorraeumen nachgewiesen werden sollte. nach Aufgabenstellung soll U (index i+1) echte teilmenge von U (index i) sein...

was dabei passieren muss, ist klar. alle U (index i) muessen 0vektor beinhalten und in sich abgeschlossen sein (sowohl fuer die VR-operationen als auch fuer die mult. mit allen skalaren aus R).

da der VR der nullabbildung immer abgeschlossen ist, dachte ich mir, dass ich die konstanten funktionen, {f: R->R : f(j)=0 fuer j=1,2,...n} von V (der menge ALLER reellwertigen funktionen) nacheinander ausschliesse, kann ich ja in R unendlich oft machen...fuehl mich dabei aber noch nicht so wohl...wenn  das einer von euch nochmal klarstellen koennte, waer super. so jez gute nacht aber.
danke.
hans

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Unterkörper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:50 So 30.11.2003
Autor: Marc

Hallo Hans,

> da der VR der nullabbildung immer abgeschlossen ist, dachte ich
> mir, dass ich die konstanten funktionen, {f: R->R : f(j)=0 fuer
> j=1,2,...n} von V (der menge ALLER reellwertigen funktionen)
> nacheinander ausschliesse, kann ich ja in R unendlich oft
> machen...fuehl mich dabei aber noch nicht so wohl...wenn  das

gut, dass du dich bei diesem unguten Gefühl nochmal gemeldet hast, ich vermute nämlich (doch) noch, dass es da ein Mißverständnis gibt.

Erstens sind mit der Menge {f: R->R : f(j)=0 für j=1,2,...n} keineswegs konstante Funktionen gemeint (die einzige konstante Funktionen, die darin enthalten ist, ist die Nullabbildung [mm]f(x)\equiv 0[/mm])  sondern Funktionen, die an den Stellen x=1,2,...,n Nullstellen haben, also die an diesen Stellen die "x-Achse" berühren/schneiden.

Zweitens werden diese Mengen nicht in jedem Schritt von [mm]V[/mm] "ausgeschlossen", sondern diese Mengen sollen gerade die gesuchte Folge von Untervektorräumen sein. Also:

[mm]U_0 = V[/mm]
[mm]U_1 = \left\{ f: \IR\mapsto\IR : f(1) = 0 \right\}[/mm]
[mm]U_2 = \left\{ f: \IR\mapsto\IR : f(1) = 0 \wedge f(2)=0 \right\}[/mm]
[mm]U_3 = \left\{ f: \IR\mapsto\IR : f(1) = 0 \wedge f(2)=0 \wedge f(3)=0 \right\}[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
[mm]U_n = \left\{f: \IR\mapsto\IR : f(j)=0 \; \mbox{für}\; j=1,2,\ldots,n\right\}[/mm]

In [mm]U_0[/mm] haben wir noch alle Funktionen, in [mm]U_1[/mm] sind dann nur noch solche, die bei 1 eine Nullstelle haben (weggefallen sind dann m.a.W. alle Funktionen, die bei 1 keine Nullstelle haben). In nächsten Schritt zu [mm]U_2[/mm] fallen dann die Funktionen weg, die bei 2 keine Nullstelle haben.

Würdest du -- und das lese ich aus deinem Vorschlag heraus -- im ersten Schritt aus [mm]V[/mm] die Funktionen ausschließen, die bei 1 eine Nullstelle haben (bei denen also f(1)=0 gilt), dann wäre der Unterraum nicht abgeschlossen (bzgl. der Verknüpfungen), denn durch z.B. einfache Addition der beiden Funktionen [mm]U_1 \ni f(x):=x[/mm] und [mm]U_1 \ni g(x):=-x[/mm], für die offenbar [mm]f(1)\neq 0[/mm] und [mm]g(1)\neq 0[/mm] gilt (und die deswegen [mm]\in U_1[/mm] sind), wäre [mm](f+g)\not\in U_1[/mm], da [mm](f+g)(1) = f(1)+g(1) = 1 + (-1) = 0[/mm]).

Einen schönen 1. Advent,
Marc


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