Umkehr-Fkt. oder nicht? < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | In der Aufg. sind 4 versch. Abb. von Graphen dargestellt.
2 davon konnte ich eindeutig u. ohne Zweifel beantw.
Bei den anderen 2 weiß ich nicht genau.
Aufg.:
Zeichne den Graphen der Umkehr-Fkt. u. entscheide, ob die Umkehrg. eindeutig ist, d.h. ob überhaupt eine Umk.-Fkt. existiert.
Erstens
Der Graph der abgebildet ist, dessen Fkt.-vorschrift heißt y= -x+3
Zweitens
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
Erstens
Ja, die Umk.-Fkt. ist eine Fkt., damit ist die Umkehrg. eindeutig.
Und das
y=y (wie kriegt man den Strich oben drauf/drüber) identisch, also
dass
Ausgangs-Fkt. = Umk-Fkt.
ist unerheblich.
Man sieht sie nicht, es gibt nur eine einzige Fkt. - das irritiert mich. Deswegen die Frage: ist meine Antw. richtig?
Zweitens
(hab vergessen, um was f. ein Fkt.-Typ das ist - exponential?)
Die Umkehr-Fkt. "gezeichnet"
u. wieder deckungsgleich mit Ausgangs-Fkt.
Vermutg.:
Die Umk.-Fkt. ist eine Fkt., damit ist die Umkehrg. eindeutig.
Drittens
Um zu beantw., ob eine Fkt. eine Umk.-Fkt. hat, gefällt es mir nicht, die Ausgans-Fkt. immer praktisch an der 1.Winkelhalbierenden zu spiegeln (zeichn. macht Arb. u. ist ungenau), dass muss doch auch rechnerisch gehen!!!
Was ich bisher weiß: Aus der Vorschrift das x isolieren, sodass das x auf einer Seite alleine steht, dann x u. y vertauschen. Fertig.
Aber dann bleibt doch jetzt noch die Frage, ob die nun wirkl. eine Umk.-Fkt. ist? Wie kann ich das prüfen OHNE zeichnen?
Für eure geschätze Hilfe u. Antw. wie immer vielen DANK
mfg
Sabine
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Sa 12.03.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> In der Aufg. sind 4 versch. Abb. von Graphen dargestellt.
> 2 davon konnte ich eindeutig u. ohne Zweifel beantw.
> Bei den anderen 2 weiß ich nicht genau.
> Aufg.:
> Zeichne den Graphen der Umkehr-Fkt. u. entscheide, ob die
> Umkehrg. eindeutig ist, d.h. ob überhaupt eine Umk.-Fkt.
> existiert.
>
> Erstens
> Der Graph der abgebildet ist, dessen Fkt.-vorschrift
> heißt y= -x+3
>
> Zweitens
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Die eingezeichnete funktion ist nicht f(x)=-3+x, das wäre eine lineare Funktion, also eine Gerade.
> Hallo,
>
> Erstens
> Ja, die Umk.-Fkt. ist eine Fkt., damit ist die Umkehrg.
> eindeutig.
> Und das
> y=y (wie kriegt man den Strich oben drauf/drüber)
> identisch, also
> dass
> Ausgangs-Fkt. = Umk-Fkt.
> ist unerheblich.
> Man sieht sie nicht, es gibt nur eine einzige Fkt. - das
> irritiert mich. Deswegen die Frage: ist meine Antw.
> richtig?
Es kann natürlich auch Funktionen geben, die ihre eigene Umkehrfunktion sind, die einfachste ist die  Identität.
>
> Zweitens
> (hab vergessen, um was f. ein Fkt.-Typ das ist -
> exponential?)
> Die Umkehr-Fkt. "gezeichnet"
> u. wieder deckungsgleich mit Ausgangs-Fkt.
> Vermutg.:
> Die Umk.-Fkt. ist eine Fkt., damit ist die Umkehrg.
> eindeutig.
>
> Drittens
> Um zu beantw., ob eine Fkt. eine Umk.-Fkt. hat, gefällt
> es mir nicht, die Ausgans-Fkt. immer praktisch an der
> 1.Winkelhalbierenden zu spiegeln (zeichn. macht Arb. u. ist
> ungenau), dass muss doch auch rechnerisch gehen!!!
> Was ich bisher weiß: Aus der Vorschrift das x isolieren,
> sodass das x auf einer Seite alleine steht, dann x u. y
> vertauschen. Fertig.
> Aber dann bleibt doch jetzt noch die Frage, ob die nun
> wirkl. eine Umk.-Fkt. ist? Wie kann ich das prüfen OHNE
> zeichnen?
Eine Umkehrfunktion gibt es nur unter bestimmten Umständen, und hier findest du auch eine Erklärung dazu. Dein Ansatz, f(x)=x nach x aufzulösen, und dann die Varablen zu tauschen ist korrekt.
Um zu prüfen, ob [mm] f^{-1}(x) [/mm] die Umkehrung von f(x) ist, prüfe, ob
[mm] f^{-1}(x)\circ f(x)=id(x) [/mm]
>
> Für eure geschätze Hilfe u. Antw. wie immer vielen DANK
> mfg
> Sabine
>
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
ich wollte gerade noch etw. ergänzen,
da ist schon Antw. da.
Wie Prüfg., ob Umk.-Fkt. tatsächl. eine Fkt. ist, ohne zu zeichnen
habe ich mir nachträgl. überlegt:
Wertetab. u. gucken, ob da jeweils zu einem x auch nur ein y gehört.
Du schreibst was mit hoch minus 1
erinnert mich an Winkel-Fkt. u. deren komplementäre Fkt., z.B. arc-sin
Das isses doch. DAs muss es sein.
Dein Vorschlag aber probiere ich aus, wenn ich wieder drin bin, jetzt muss ich erstmal raus.
DANKE dir!!!!!!!!!!!!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Marius,
> Um zu prüfen, ob [mm]f^{-1}(x)[/mm] die Umkehrung von f(x) ist,
> prüfe, ob
> [mm]f^{-1}(x)\circ f(x)=id(x)[/mm]
Das will ich nun tun, aber dummerweise weiß ich nicht, was der Kreis bedeutet, ein Verknüpfungszeichen?
Ist es vielleicht möglich es mir an einer lin. Fkt. oder an [mm] x^2 [/mm] mal vorzumachen?
Oder wie heißt das Zeichen, sodass ich selber gucken kann?
LG
Sabine
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Hallo Giraffe,
> Hallo Marius,
> > Um zu prüfen, ob [mm]f^{-1}(x)[/mm] die Umkehrung von f(x) ist,
> > prüfe, ob
> > [mm]f^{-1}(x)\circ f(x)=id(x)[/mm]
> Das will ich nun tun, aber dummerweise weiß ich nicht, was
> der Kreis bedeutet, ein Verknüpfungszeichen?
Ja.
> Ist es vielleicht möglich es mir an einer lin. Fkt. oder
> an [mm]x^2[/mm] mal vorzumachen?
> Oder wie heißt das Zeichen, sodass ich selber gucken
> kann?
> LG
> Sabine
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Walde |
Noch zur Ergänzung:
Die Schreibweise [mm] $(u\circ [/mm] v)(x)$ ist in der Schule eher bekannt als $u(v(x))$.
zB. $u(x)=2x+2$ [mm] $v(x)=\bruch{1}{2}x-1$ $u(v(x))=2*(\bruch{1}{2}x-1)+2=x$
[/mm]
LG walde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Sa 12.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
sehr schön, ich habs
hat geklappt
ich mach das aber nochmal mit ein paar anderen Fkt.
zum Ausprobieren, bzw. Üben.
DANKE
Wenns doch immer so einfach wäre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Do 17.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
> sehr schön, ich habs
von wegen
> hat geklappt
nix hat geklappt
> ich mach das aber nochmal mit ein paar anderen Fkt.
> zum Ausprobieren, bzw. Üben.
> Wenns doch immer so einfach wäre
So einfach u. klar, dass ich hierzu wieder eine Frage habe, weil es nämlich NICHT hinhaut! Nicht hinhaut! Grrrrrrrrrr!!
Guten Morgen,
alle lin. Fkt. müssen eine eindeutige Umkehrg. haben - das stelle ich mir so vor. Dann probiere ich es aus mit einer höheren Potenz u. nehme gleich
[mm] y=x^2
[/mm]
Haha, ich weiß ja was rauskommt,
will es aber 2x rechnerisch versuchen, zu schauen, ob die Umkehrg. eindeugit ist.
Einmal ohne den Def.bereich einzuschränken; ich nehme einfach an, es dürfen alle x sein, dann muss ja was Falsches rauskommen.
Und dann beschränke ich den Def.bereich auf alle pos. x inkl. der Null, dann muss x=x rauskommen.
Ich setze also die Umk.Fkt. in die Ausgangs-Fkt. ein, aber es kommt bei beiden Fällen x=x raus.
Das kann u. darf aber nicht sein, weil nur die mit dem eingeschränkten Def.bereich RICHTIG ist, das andere ist KEINE Fkt.
Und nu?
Wie geht das denn?
Was hätte ich anders machen müssen?
Woran liegst - es ist mir absolut unverständlich!
Für Antw. immer vielen herzlichen DANK
LG
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Hallo Sabine,
ich bin mir nicht ganz im Klaren , ob ich Dein Problem verstanden habe. Du hast als die Funktion [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] und ich vermute Du willst mit [mm] $g(x)=\wurzel{x}$ [/mm] nachprüfen ob gilt
$f(g(x))=x$ und $g(f(x))=x$
g ist nur für x [mm] \ge [/mm] 0 definiert. Für beliebiges x ist
$g(f(x)) [mm] =\wurzel{x^2}=|x|$
[/mm]
und es ist eben |x|=x nur für x [mm] \ge [/mm] 0.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Do 17.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
ahhhh,
so läuft das also
entwed. Def.menge machen oder Betragsstriche.
Raffiniert!
Klasse, dass ich so schnell klärende Antw. bekomme.
Das ist ja wirkl. fix.
DANKE!!!!!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Hallo,
über ein Jahr habe ich nun geglaubt, wenn man zu [mm] x^2 [/mm] die eindeutige Umkehr-Fkt. bilden will, dass man den Def.bereich auf die pos. x begrenzen muss, um nur einen Ast/Arm der liegenden Parabel zu erhalten.
Ich habe das, was Fred gesagt hat, nachgearbeitet u. dabei ist mir folgendes aufgefallen:
Mache ich den Def. bereich, dann gibt das Auskunft darüber, wo die Umkehr-Fkt. liegt, nämlich nur auf der rechten Hälfte des Koordinatensystems u. im 2.ten u. 3.ten Quadranten ist kein Graph.
Das hat mich schon mal ziemlich durcheinander gebracht, weil ich bislang dachte, die Festlegung des Def.bereich macht aus der Hyperbel eine Funktion. Also der Def.bereich macht aus 2 Ästen, einen Ast.
Dann habe ich mich natürlich gefragt, was ich tun muss, damit [mm] \wurzel{x} [/mm] zur eindeutigen Umkehrg. von [mm] x^2 [/mm] wird. Und bin darauf gekommen, dass das nur der Wertebereich machen kann.
[mm] \wurzel{25} [/mm]
macht +5 und -5 (macht 2 (Arme/Äste)
Was genau ist zu tun, wenn man von der eindeutigen Umkehrg. zu [mm] x^2 [/mm] zu [mm] \wurzel{x} [/mm] kommen will?
Der Def.bereich macht das nicht. Und meine Überlegung, der Wertebereich macht nur einen Ast, die Überlegung hinkt auch. Denn man hat nur 2 Ergebnisse, nach dem Wurzelziehen, bei pq-Formel oder quadrat.Ergänzg.
Ansonsten gibt es immer """automatisch""" nur ein einziges Ergebnis u. nicht zwei. (auch mein TR liefert bei der Eingabe von [mm] \wurzel{25} [/mm] nur ein Ergebnis.
Also, wenn der Wertebereich ohnehin nur einen y-Wert liefert, was genau muss getan werden, damit der liegende Parabel (Hyperbel) ein Arm abgeschnitten wird? |
Ich bin gespannt wo nun jetzt schon wieder der Wurm drin ist.
Allen vielen DANK u. schon mal schönes Wochenende.
LG
Sabine
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> Hallo,
> über ein Jahr habe ich nun geglaubt, wenn man zu [mm]x^2[/mm] die
> eindeutige Umkehr-Fkt. bilden will, dass man den
> Def.bereich auf die pos. x begrenzen muss, um nur einen
> Ast/Arm der liegenden Parabel zu erhalten.
>
> Ich habe das, was Fred gesagt hat, nachgearbeitet u. dabei
> ist mir folgendes aufgefallen:
> Mache ich den Def. bereich, dann gibt das Auskunft
> darüber, wo die Umkehr-Fkt. liegt, nämlich nur auf der
> rechten Hälfte des Koordinatensystems u. im 2.ten u. 3.ten
> Quadranten ist kein Graph.
> Das hat mich schon mal ziemlich durcheinander gebracht,
> weil ich bislang dachte, die Festlegung des Def.bereich
> macht aus der Hyperbel eine Funktion. Also der Def.bereich
> macht aus 2 Ästen, einen Ast.
>
> Dann habe ich mich natürlich gefragt, was ich tun muss,
> damit [mm]\wurzel{x}[/mm] zur eindeutigen Umkehrg. von [mm]x^2[/mm] wird. Und
> bin darauf gekommen, dass das nur der Wertebereich machen
> kann.
> [mm]\wurzel{25}[/mm]
> macht +5 und -5 (macht 2 (Arme/Äste)
Nein !
Zwar hat die Gleichung [mm] x^2=25 [/mm] diese beiden Lösungen, aber
nur eine davon, nämlich die positive, bezeichnet man als die
Quadratwurzel der Zahl 25. Die Lösungsmenge der Gleichung
[mm] x^2=25 [/mm] kann man schreiben als
[mm] $\mathbb{L}\ [/mm] =\ [mm] \{+5\ ,\ -5\}\ [/mm] =\ [mm] \{\ \sqrt{25}\ ,\ -\sqrt{25}\ \}$ [/mm]
> Was genau ist zu tun, wenn man von der eindeutigen
> Umkehrg. zu [mm]x^2[/mm] zu [mm]\wurzel{x}[/mm] kommen will?
>
> Der Def.bereich macht das nicht. Und meine Überlegung, der
> Wertebereich macht nur einen Ast, die Überlegung hinkt
> auch. Denn man hat nur 2 Ergebnisse, nach dem Wurzelziehen,
> bei pq-Formel oder quadrat.Ergänzg.
> Ansonsten gibt es immer """automatisch""" nur ein einziges
> Ergebnis u. nicht zwei. (auch mein TR liefert bei der
> Eingabe von [mm]\wurzel{25}[/mm] nur ein Ergebnis.
> Also, wenn der Wertebereich ohnehin nur einen y-Wert
> liefert, was genau muss getan werden, damit der liegende
> Parabel (Hyperbel) ein Arm abgeschnitten wird?
> Ich bin gespannt wo nun jetzt schon wieder der Wurm drin
> ist.
> Allen vielen DANK u. schon mal schönes Wochenende.
> LG
> Sabine
Hallo Sabine,
einen wesentlichen Punkt der Überlegungen im Zusammen-
hang mit der Suche nach Umkehrfunktionen kann man sich
sehr gut anschaulich anhand der Graphen klar machen.
Von einer mathematischen Funktion [mm] f:x\mapsto{y} [/mm] verlangt man,
dass ihre Funktionswerte eindeutig bestimmt sind, das
heißt, dass jedem x-Wert im Definitionsbereich [mm] \mathbb{D}_f [/mm] ein
und nur ein bestimmter y-Wert mit y=f(x) zugeordnet wird.
Grafisch bedeutet dies: Jede Parallele zur y-Achse mit einer
Gleichung [mm] x=x_0 [/mm] mit [mm] x_0\in\mathbb{D}_f [/mm] hat mit dem Graph
von f genau einen Schnittpunkt.
Diese Überlegung zeigt, dass z.B. eine liegende Parabel oder
ein Kreis oder eine Ellipse nicht der Graph einer Funktion
sein kann.
Der Graph der Quadratfunktion [mm] f:x\mapsto{y}=x^2 [/mm] ist ebenfalls
eine Parabel. Da deren Achse die y-Achse ist, kann aber eine
vertikale (zur y-Achse parallele) Gerade diese Parabel stets
nur in einem Punkt schneiden.
Um zu entscheiden, ob eine Funktion eine eindeutige
Umkehrfunktion hat, muss man prüfen, ob es zu einem
y-Wert jeweils genau einen zugehörigen x-Wert mit f(x)=y
gibt. Grafisch kann man dies prüfen, indem man Parallelen
zur x-Achse betrachtet. Schneidet jede solche Parallele [mm] y=y_0
[/mm]
mit [mm] y_0\in\mathbb{W}_f [/mm] den Graph von f in genau einem Punkt,
so hat f eine eindeutige Umkehrfunktion.
Bei der auf ganz [mm] \IR [/mm] definierten Quadratfunktion ist dies
offensichtlich nicht der Fall. Um trotzdem zu einer eindeutigen
Umkehrfunktion zu kommen, muss man also einen Teil des
Graphen opfern oder "amputieren". Man muss also den
Definitionsbereich in geeigneter Weise einschränken.
Dies ist auf verschiedene Arten möglich. Der übliche Weg
ist, dass man den Definitionsbereich auf die nichtnegativen
Zahlen beschränkt und also die linke Hälfte der Parabel
amputiert. Man könnte aber ebenso gut die andere Hälfte
opfern oder noch eine andere Aufteilung vornehmen.
Dass der Taschenrechner bei der Eingabe von [mm] \sqrt{25} [/mm] nur
den einen Wert 5 liefert, ist ganz in Ordnung, denn die
Quadratwurzelfunktion wird einfach so definiert, dass sie
zu einem Eingabewert a (mit [mm] a\ge0) [/mm] die nicht-negative
Lösung x der Gleichung [mm] x^2=a [/mm] liefert.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Al-Chw.
whow, deine Antw. hat nun auch gleich noch mehr geklärt, was ich nicht gefragt hatte.
>über ein Jahr habe ich nun geglaubt, wenn man zu [mm] x^2 [/mm] die eindeutige >Umkehr-Fkt. bilden will, dass man den Def.bereich auf die pos. x >begrenzen muss, um nur einen Ast/Arm der liegenden Parabel zu >erhalten.
Dann stimmt das also doch u. ich darf das weiter glauben!!!!
u. ergänzen: Def.bereich auf die pos. x ODER die neg. x beschränken.
Das Problem lag darin, dass ich den Def.bereich auf die Umk.-Fkt. bezogen hatte u. deswegen nicht weiterkam. Mein Gott was so kleine Verwechslungen für Fragen aufwerfen.
Aber das war auch nun schon das Wesentliche!
Ich schrieb:
>Denn man hat nur 2 Ergebnisse, nach dem Wurzelziehen, bei pq-Formel >oder quadrat.Ergänzg.
>Ansonsten gibt es immer """automatisch""" nur ein einziges Ergebnis u. >nicht zwei.
Du dazu:
[mm] x^2= [/mm] 25 hat 2 Lösungen, aber
$ [mm] \wurzel{25} [/mm] $ hat nur eine Lösung
u. das ist nicht automatisch so, sondern wurde so definiert.
Natürlich habe ich schon "eine menge" in Mathe gelernt, aber es dauert scheinbar alles endlos bis man es wirklich begriffen hat oder etwas bescheidener: bis man es nur etwas davon begriffen hat, wirklich begriffen ohne wenn u. aber, dass kommt danach - lange später.
Al-Chw. ich danke dir!
Äh, aber nochmal so im Kopf überblicksartig alle Sorten durchdacht:
Alle lin. Fkt. haben eine eindeutige Umkehrg.
Von allen quadrat. Fkt. muss man dann ja immer einen Arm abschneiden, egal wo im Koordinatensystem die liegen, sonst erreicht man keine Eindeutigkeit. Nicht wahr, so ist es doch?
Gern würde ich nun auch [mm] x^3 [/mm] er ausprobieren, aber wenn da mehrere Summanden sind, dann kriege ich das x nicht isoliert. Deswegen versuche ich nun schriftl. zu gucken, was bei konstanten Fkt. passiert u. nehme nur die [mm] x^3 [/mm] ohne weitere Summanden.
Und dann ist das Thema auch erstmal abgehakt.
Schauen wir mal wie weit ich komme.
Erstmal vielen DANK
LG
Sabine
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Hallo Giraffe !
> nochmal so im Kopf überblicksartig alle Sorten
> durchdacht:
> Alle lin. Fkt. haben eine eindeutige Umkehrg. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Von allen quadrat. Fkt. muss man dann ja immer einen Arm
> abschneiden, egal wo im Koordinatensystem die liegen, sonst
> erreicht man keine Eindeutigkeit. Nicht wahr, so ist es
> doch?
(Anstatt einen Arm komplett abzuschneiden, könnte man
die Parabel ev. auch auf andere Art "zerschnipseln", aber
das ist dann schon eher exotisch ...)
> Gern würde ich nun auch [mm]x^3[/mm] er ausprobieren, aber wenn da
> mehrere Summanden sind, dann kriege ich das x nicht
> isoliert.
Ja, die algebraische Auflösung der allgemeinen kubischen
Gleichung ist grundsätzlich deutlich schwieriger als die
der quadratischen.
> Deswegen versuche ich nun schriftl. zu gucken,
> was bei konstanten Fkt. passiert
Eine konstante Funktion, deren Definitionsbereich mehr
als ein Element besitzt, hat natürlich keine Umkehr-
funktion.
> u. nehme nur die [mm]x^3[/mm] ohne
> weitere Summanden.
Die Funktion $\ f:\ [mm] x\mapsto x^3$ [/mm] mit [mm] \mathbb{D}_f=\IR [/mm] hat
die eindeutige Umkehrfunktion:
$\ [mm] f^{-1}:\ y\mapsto \begin{cases} \wurzel[3]{y}\ &\ \mbox{ falls }y\ge0 \\ -\,\wurzel[3]{|y|}\ &\ \mbox{ falls }y<0\end{cases}$
[/mm]
Versuch es z.B. einmal noch mit dieser Funktion:
$\ f(x)\ =\ [mm] x^3-6*x^2+12*x-3\ [/mm] =\ [mm] (x-2)^3+5$ \mathbb{D}_f=\IR
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Fr 25.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Al-Chw.,
hab´ich gemacht.
Hat auch gut funktioniert.
Aber mit dem Klammersetzen bin ich unsicher.
Ich tat das, um nicht den Überblick zu verlieren.
Ich wollte, dass es heißt Klammerausdruck minus 5,
aber nun weiß ich nicht, ob es nicht heißt
Klammerausdruck mal minus 5.
[mm] (x-2)^3+5
[/mm]
das ganze in eckige Klammer (mit dem Formeleditor finde ich keine - leider)
u. dann den eckigen Klammerausdruck -5.
Al.-Chw. vielen DANK für deine Nachhilfe!!!
LG u. schönes Wochenende für dich!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Die Funktion $ \ f:\ [mm] x\mapsto x^3 [/mm] $ mit $ [mm] \mathbb{D}_f=\IR [/mm] $ hat
die eindeutige Umkehrfunktion:
$ \ [mm] f^{-1}:\ y\mapsto \begin{cases} \wurzel[3]{y}\ &\ \mbox{ falls }y\ge0 \\ -\,\wurzel[3]{|y|}\ &\ \mbox{ falls }y<0\end{cases} [/mm] $
Versuch es z.B. einmal noch mit dieser Funktion:
$ \ f(x)\ =\ [mm] x^3-6\cdot{}x^2+12\cdot{}x-3\ [/mm] =\ [mm] (x-2)^3+5 [/mm] $ $ [mm] \mathbb{D}_f=\IR [/mm] $
> Hallo Al-Chw.,
> hab´ich gemacht.
> Hat auch gut funktioniert.
> Aber mit dem Klammersetzen bin ich unsicher.
> Ich tat das, um nicht den Überblick zu verlieren.
> Ich wollte, dass es heißt Klammerausdruck minus 5,
> aber nun weiß ich nicht, ob es nicht heißt
> Klammerausdruck mal minus 5.
> [mm](x-2)^3+5[/mm]
> das ganze in eckige Klammer (mit dem Formeleditor finde
> ich keine - leider)
> u. dann den eckigen Klammerausdruck -5.
> Al.-Chw. vielen DANK für deine Nachhilfe!!!
> LG u. schönes Wochenende für dich!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo Giraffe,
mit korrekter Berücksichtigung der Definition der Kubik-
wurzel (die so wie die Quadratwurzel nur für nichtnegative
Radikanden definiert ist !) lautet die Lösung so:
$ \ [mm] f^{-1}:\ x\mapsto \begin{cases} 2+\wurzel[3]{x-5}\ &\ \mbox{ falls }x\ge5 \\ 2-\,\wurzel[3]{5-x}\ &\ \mbox{ falls }x<5\end{cases} [/mm] $
einige einfache Beispiele zum Testen: x=-3 x=4 x=13 x=32
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Sa 26.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
Guten Morgen Al,
(schön, dass die alt bekannten Hasen immer wieder hier zugange sind u. ich es nicht jedesmal mit irgendwelchen anderen Leuten zu tun habe).
Ich bin vielleicht ein Schussel!
Eingangs schreibe ich das noch mit dem Def.bereich, um es dann während der Aufg. komplett zu ignorieren. Au weia.
Aber sicher ist auch ein Grund, dass ich erst anfange, mich daran zu gewöhnen, Def.bereiche anzuschauen u. Def.mengen VORHER festzulegen. Ich bin sicher, wenn ich lange genug damit rumhantiert habe, dass das dann nicht mehr vorkommt.
Ich werde deshalb die Aufg. nochmal machen - MIT Berücksichtig. von dem, was du geschrieben hast u. hoffe sehr, dass ich auf dasselbe komme wie du.
(melde mich heute abend oder morgen wieder).
LG
Sabine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 So 27.03.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Al-Chw.,
das hat bei mir leider gar nicht geklappt
$ \ [mm] f^{-1}:\ y\mapsto \begin{cases} \wurzel[3]{y}\ &\ \mbox{ falls }y\ge0 \\ -\,\wurzel[3]{|y|}\ &\ \mbox{ falls }y<0\end{cases} [/mm] $
Es fehlt noch einige Übung u. Sicherheit im Lesen so einer Schreibweise, aber gemeint ist doch
die Umk.-Fkt. ist def. als
y wird abb.
u. dann kommt der Zweizeiler nach der schönen geschwung. Klammer.
Ich bin total irritiert. Kenne es nur, dass man für x Werte einsetzt u. dann y ausrechnet (jed. x wird ein y zugeordnet); klar, manche Textaufg. verlangen auch, dass man umgekehrt rechnet, aber trotzdem, wieso definierst du nicht, wie das x abb. wird, wieso zeigt du wie y abgebildet wird?
Das war schon mal der erste dicke Stolperstein.
Mit
$ \ [mm] f^{-1}:\ x\mapsto \begin{cases} 2+\wurzel[3]{x-5}\ &\ \mbox{ falls }x\ge5 \\ 2-\,\wurzel[3]{5-x}\ &\ \mbox{ falls }x<5\end{cases} [/mm] $
So ists mir schon vertrauter.
Warum oben y statt x? Gibst du damit Bedingungen an, die f. die Umk.-Fkt. erfüllt sein müssen? Also def. du damit den Wertebereich der Umk.-Fkt.?
$ \ [mm] f^{-1}:\ x\mapsto \begin{cases} 2+\wurzel[3]{x-5}\ &\ \mbox{ falls }x\ge5 \\ 2-\,\wurzel[3]{5-x}\ &\ \mbox{ falls }x<5\end{cases} [/mm] $
Hier wird gezeigt, wie das x der Umk.-Fkt. abgebilldet sein muss, d.h. doch der kl. waagerechte Pfeil nach rechts oder?
[mm] 2+\wurzel[3]{x-5}\ [/mm] (mit [mm] x\ge5). [/mm] Das ist die Umk.-Fkt.
Aber wie kommt [mm] 2-\,\wurzel[3]{5-x} [/mm] zustande? Woher kommt das, was ist das?
Du siehst also weit gekommen bin ich nicht.
Wäre ganz toll, wenn du mir nochmal antw. würdest. DANKE
LG
Sabine
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Hallo Sabine,
mal zunächst nur dieses:
Es ist völlig einerlei, mit welchem Symbol (Buchstaben)
man die Variable in einer Funktion bezeichnet. Dass wir
dazu meistens das x verwenden, ist nur Gewohnheit,
von der man sich aber auch wieder lösen können sollte.
[mm]\ f^{-1}:\ y\mapsto \begin{cases} \wurzel[3]{y}\ &\ \mbox{ falls }y\ge0 \\ -\,\wurzel[3]{|y|}\ &\ \mbox{ falls }y<0\end{cases}[/mm]
[mm]\ f^{-1}:\ x\mapsto \begin{cases} \wurzel[3]{x}\ &\ \mbox{ falls }x\ge0 \\ -\,\wurzel[3]{|x|}\ &\ \mbox{ falls }x<0\end{cases}[/mm]
[mm]\ f^{-1}:\ t\mapsto \begin{cases} \wurzel[3]{t}\ &\ \ \mbox{ falls }t\ge0 \\ -\,\wurzel[3]{|t|}\ &\ \ \mbox{ falls }t<0\end{cases}[/mm]
ist also dreimal ein und dieselbe Funktion !
LG Al
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