Teilmengen der rellen Zahlen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Sa 16.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \IR [/mm] die einzigen Teilmengen [mm] A\subset\IR [/mm] sind, die sowohl offen, als auch abgeschlossen sind. |
Hallo,
also ich kenne die Definition einer abgeschlossenen Menge und die Definition einer offenen Menge (die stehen in unserem Skript). Unser Tutor hat gemeint, wir müssen annehmen, dass es eine Teilmenge [mm] U\subset\IR [/mm] gibt, die nicht leer ist und dann zeigen, dass dies schon [mm] \IR [/mm] selbst ist.
Trotzdem weiß ich noch nicht so recht, was ich hinschreiben soll bzw. wie ich da anfangen soll. Hab auch schon einige Bücher durchgeforstet, aber da stand jedes Mal nur drin, dass [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \IR [/mm] die einzigen Teilmengen von [mm] \IR [/mm] sind, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind, aber nirgends war ein Beweis zu finden.
Hat da jemand nen heißen Tipp auf Lager?
DANKE schon mal!!
Gruß Michi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 So 17.12.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
Da Du die Definitionen kennst, gebe ich Dir nur die Beweise an.
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum (bei Dir [mm] $X=\IR$). [/mm] Dann gilt
(1): [mm] $\emptyset$ [/mm] und $X$ sind offen
(2): [mm] $\emptyset$ [/mm] und $X$ sind abgeschlossen
Beweis:
zu(1):
------
(i)
Sei [mm] $X\neq\emptyset$, $a\in [/mm] X$ und [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Dann ist
[mm] $B_{\varepsilon}(a)\subset [/mm] X$
(ii)
Sei [mm] $M=\emptyset$. [/mm] Da es kein [mm] $x\in [/mm] M$ gibt, zu dem es eine in
$M$ enthaltene [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] geben müßte, ist $M$ offen.
zu(2):
------
(i)
[mm] $\emptyset=X$\$X$ [/mm] und $X$ offen [mm] $\Longrightarrow$ $\emptyset$ [/mm] abgeschlossen
(ii)
[mm] $X=X$\$\emptyset$ [/mm] und [mm] $\emptyset$ [/mm] offen [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] $X$ abgeschlossen
Hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Ciao Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 So 17.12.2006 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Denny!
Dein Beweis ist schon mal ganz einleuchtend. Ich versteh nur nicht ganz, wie du sagen kannst, wenn X nicht die leere Menge ist, also a in X liegt, dass dann die [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung von a auch in X liegt. Das muss ja nicht immer stimmen, oder?
Kann man es nicht irgendwie noch anders machen?
LG Leni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 17.12.2006 | | Autor: | MichiNes |
Hi denny,
zunächst mal vielen Dank für deinen Beitrag! Hätte gedacht, dass mir vielleicht wieder niemand zurückschreiben kann.
Dein Beweis leuchtet, wie Leni schon gesagt hat, schon ein. Aber du hast doch jetzt nur bewiesen, dass [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \IR [/mm] sowohl abgeschlossen als auch offen sind. Ist jetzt schon bewiesen, dass das die EINZIGEN Teilmengen von [mm] \IR [/mm] sind, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind??
Gruß Michi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 So 17.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Michi,
> Dein Beweis leuchtet, wie Leni schon gesagt hat, schon ein.
> Aber du hast doch jetzt nur bewiesen, dass [mm]\emptyset[/mm] und
> [mm]\IR[/mm] sowohl abgeschlossen als auch offen sind. Ist jetzt
> schon bewiesen, dass das die EINZIGEN Teilmengen von [mm]\IR[/mm]
> sind, die sowohl abgeschlossen als auch offen sind??
Das stimmt, das ist damit noch nicht gezeigt.
Macht Ihr zufällig in der Vorlesung gerade etwas mit "Zusammenhang"?
Damit sollte es schnell folgen.
Viele grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 So 17.12.2006 | | Autor: | Leni-H |
Nein, dieses Thema haben / hatten wir noch nicht.
Unser Tutor hat irgendwie gemeint, dass man annehmen soll das U nicht die leere Menge ist und dann zeigen soll, dass U = [mm] \IR [/mm] ist.
Sein Ansatz war: U [mm] \not= [/mm] leer, a [mm] \in [/mm] U..... dann hat er irgendwie gemeint: Betrachte inf [mm] \{x \in \IR \ U | x \ge a \}
[/mm]
Aber ich weiß irgendwie nicht, was ich mit diesem Ansatz anfangen soll!?
Habt ihr ne Idee?
LG Leni
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> Unser Tutor hat irgendwie gemeint, dass man annehmen soll
> das U nicht die leere Menge ist und dann zeigen soll, dass
> U = [mm]\IR[/mm] ist.
> Sein Ansatz war: U [mm]\not=[/mm] leer, a [mm]\in[/mm] U..... dann hat er
> irgendwie gemeint: Betrachte inf [mm]\{x \in \IR \ U | x \ge a \}[/mm]
>
> Aber ich weiß irgendwie nicht, was ich mit diesem Ansatz
> anfangen soll!?
> Habt ihr ne Idee?
Hallo,
allein wäre ich wohl nicht drauf gekommen, aber diese Tips bringen mich auf eine Idee:
Sei U also eine Menge, welche gleichzeitig offen und abgeschlossen ist.
Dann ist [mm] \IR [/mm] \ U offen und abgeschlossen.
Sei U [mm] \not= \emptyset.
[/mm]
Dann gibt es ein a [mm] \in [/mm] U.
Angenommen [mm] \IR [/mm] \ U [mm] \not= \emptyset.
[/mm]
Dann gibt es ein b [mm] \in \IR [/mm] \ U
Sei o.B.d.A. a<b.
Betrachte nun inf [mm] \{x \in \IR - U | x \ge a \}, [/mm] also die größte untere Schranke für die Zahlen, die nicht in U liegen und größer als a sind.
(Dieses inf existiert, da {x [mm] \in \IR [/mm] - U | x [mm] \ge [/mm] a [mm] \} [/mm] nichtleer und nach unten beschraänkt ist.)
Liegt es in U, so ist U nicht offen [mm] (\varepsilon-Umgebung [/mm] vom Infimum betrachten: in jeder dieser Umgebungen liegen Elemente, die nicht in U liegen.), also Widerspruch.
Daher liegt es in [mm] \IR [/mm] \ U. Also ist [mm] \IR [/mm] \ U mit derselben Argumentation nicht offen. Widerspruch.
Die Annahme, daß U und [mm] \IR [/mm] \ U beide nichtleer sind, führt zum Widerspruch.
Also ist eine beider Mengen leer, und somit sind [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \IR [/mm] die einzigen nichtleeren Teilmengen von [mm] \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
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> Ich versteh
> nur nicht ganz, wie du sagen kannst, wenn X nicht die leere
> Menge ist, also a in X liegt, dass dann die [mm]\varepsilon[/mm] -
> Umgebung von a auch in X liegt. Das muss ja nicht immer
> stimmen, oder?
Hallo,
nein, immer stimmt das gewiß nicht.
Nur ist, wie Denny22 auch schrieb, in diesem Falle [mm] X=\IR.
[/mm]
Wenn Du Dir einen Punkt aus [mm] \IR [/mm] nimmst, liegt jede Umgebung dieses Punktes in [mm] \IR.
[/mm]
Gruß v. Angela
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