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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:43 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Sashman |
| Aufgabe | Sei [mm] $\mathcal{I}\subseteq M_{nn}(K)$ [/mm] eine Teilmenge der [mm] $n\times [/mm] n$ Matrizen über einem Körper $K$ mit den folgenden Eigenschaften:
(i) [mm] $\mathcal{I}$ [/mm] enthält eine Matrix A mit [mm] $A\not= [/mm] 0$
(ii) [mm] $\mathcal{I}$ [/mm] ist mit der Addition von Matrizen eine abelsche Gruppe
(iii) wenn [mm] $A\in\mathcal{I}$, [/mm] dann gilt: [mm] $AX\in\mathcal{I}$ [/mm] und [mm] $XA\in\mathcal{I}$ [/mm] für alle [mm] $X\in M_{nn}(K)$.
[/mm]
Beweisen Sie das [mm] I_n [/mm] in [mm] $\mathcal{I}$ [/mm] liegt.
[mm] $I_n:= n\times [/mm] n$- Einheitsmatrix |
Moin an alle!
Ich hab gar keinen Plan wie ich das zeigen soll!
Ich weiß nur das [mm] $\mathcal{I}_1:=\{0,I_n,-I_n\},\mathcal{I}_2:=\{0,I_n,-I_n,k*I_n\} k\in [/mm] K$ invertierbar und [mm] $\mathcal{I}_3:=\{M_{nn}(K)\}$ [/mm] genau diese Eigenschaft haben. Wobeí mit 0 die Nullmatrix ist.
Nur gibt es noch mehr dieser Teilmengen?? Wenn ja wäre es sicher mühsam alle zu bestimmen um zu zeigen das [mm] I_n [/mm] in allen liegt.
Sollte ich alle erfaßt haben bliebe doch aber zu zeigen das es keine weiteren Teilmengen mit den geforderten Eigenschaften gibt.
Steh ein wenig auf dem Schlauch.
Danke im voraus
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:44 Do 09.11.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Sashman,
> Sei [mm]\mathcal{I}\subseteq M_{nn}(K)[/mm] eine Teilmenge der
> [mm]n\times n[/mm] Matrizen über einem Körper [mm]K[/mm] mit den folgenden
> Eigenschaften:
>
>
> (i) [mm]\mathcal{I}[/mm] enthält eine Matrix A mit [mm]A\not= 0[/mm]
>
> (ii) [mm]\mathcal{I}[/mm] ist mit der Addition von Matrizen eine
> abelsche Gruppe
>
> (iii) wenn [mm]A\in\mathcal{I}[/mm], dann gilt: [mm]AX\in\mathcal{I}[/mm] und
> [mm]XA\in\mathcal{I}[/mm] für alle [mm]X\in M_{nn}(K)[/mm].
>
> Beweisen Sie das [mm]I_n[/mm] in [mm]\mathcal{I}[/mm] liegt.
>
> [mm]I_n:= n\times n[/mm]- Einheitsmatrix
> Moin an alle!
>
> Ich hab gar keinen Plan wie ich das zeigen soll!
>
> Ich weiß nur das
> [mm]\mathcal{I}_1:=\{0,I_n,-I_n\},\mathcal{I}_2:=\{0,I_n,-I_n,k*I_n\} k\in K[/mm]
> invertierbar und [mm]\mathcal{I}_3:=\{M_{nn}(K)\}[/mm] genau diese
> Eigenschaft haben. Wobeí mit 0 die Nullmatrix ist.
>
> Nur gibt es noch mehr dieser Teilmengen?? Wenn ja wäre es
> sicher mühsam alle zu bestimmen um zu zeigen das [mm]I_n[/mm] in
> allen liegt.
>
> Sollte ich alle erfaßt haben bliebe doch aber zu zeigen das
> es keine weiteren Teilmengen mit den geforderten
> Eigenschaften gibt.
Es gibt sogar nur genau eine Menge [mm] $\mathcal{I}$, [/mm] das folgt unmittelbar aus der Aufgabe.
> Steh ein wenig auf dem Schlauch.
Ist Dir aufgefallen, dass in (iii) die Matrix X aus [mm] $M_{nn}$ [/mm] ist? Unter diesen gibt es doch spezielle Matrizen, die z.B. die Einträge einer Matrix A beliebig "verschieben" können...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:29 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Marc!
Hab deine Mitteilung ein wenig auf mich wirken lassen, und bin zu folgender "Beweisidee" gekommen. (ja das [mm] $X\in M_{nn}$ [/mm] ist hatte ich übersehen)
Ich kann annehmen, das A an einer Stelle einen von Null verschiedenen Eintrag k hat. Da ich A mit der Matrix [mm] $X\in M_{nn}$ [/mm] multiplizieren kann die die betreffende Zeile mit dem multiplikativ inversen zu k multipliziert, kann ich annehmen, das $k=1$ ist.
Diese "$1$" kann ich nun durch Zeilenvertauschungen in die Diagonale zwingen.
Als nächsten Schritt zeige ich das ich den Eintrag auch diagonal nach oben und oder diagonal nach unten verschieben kann.
Aus (ii) [mm] \matcal{I} [/mm] ist abelsche Gruppe folgt dann das [mm] I_n [/mm] in [mm] \mathcal{I} [/mm] liegt.
Hast du das so in etwa gemeint?
MfG
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo Sashman,
> Hab deine Mitteilung ein wenig auf mich wirken lassen, und
> bin zu folgender "Beweisidee" gekommen. (ja das [mm]X\in M_{nn}[/mm]
> ist hatte ich übersehen)
Scheint ja gewirkt zu haben... 
> Ich kann annehmen, das A an einer Stelle einen von Null
> verschiedenen Eintrag k hat. Da ich A mit der Matrix [mm]X\in M_{nn}[/mm]
> multiplizieren kann die die betreffende Zeile mit dem
> multiplikativ inversen zu k multipliziert, kann ich
> annehmen, das [mm]k=1[/mm] ist.
> Diese "[mm]1[/mm]" kann ich nun durch Zeilenvertauschungen in die
> Diagonale zwingen.
> Als nächsten Schritt zeige ich das ich den Eintrag auch
> diagonal nach oben und oder diagonal nach unten verschieben
> kann.
>
> Aus (ii) [mm]\matcal{I}[/mm] ist abelsche Gruppe folgt dann das [mm]I_n[/mm]
> in [mm]\mathcal{I}[/mm] liegt.
>
> Hast du das so in etwa gemeint?
Ja, genau. Du müsstest aber noch den Fall behandeln, dass die Matrix A mehr als einen von Null verschiedenen Eintrag hat.
Und woraus besteht/was ist dann die Menge [mm] $\mathcal{I}$, [/mm] wenn die Einheitsmatrix enthalten ist?
Viele Grüße,
Marc
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