Teilbarkeit von charakteristischen- und Minimalpolynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo Leute,
ich versuche grade eine Aufgabe zu lösen, die sich mit der Teilbarkeit von Minimalpolynomen beschäftigt. Na auf jeden Fall habe ich festgestellt, dass das charakteristische Polynom von g (also der Funktion g) das charakteristische Polynom von f teilt.
Meine Frage ist jetzt: Kann ich daraus schlussfolgern, dass das Minimalpolynom von g das Minimalpolynom von f teilt.
Nach meiner Meinung müsste das gehen, denn nach Charley-Hamilton gilt ja, dass das Minimalpolynom von g ja aus den Primfaktoren vom charakteristischen Polynom von g besteht. Also muss das Minimalpolynom von f ja mindestens die gleichen Primfaktoren haben. Oder nicht? Und wenn ja, wie schreibt man das richtig auf?
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Nun ich habe noch folgendes festgestellt: Die Matrix A, die f beschreibt, hat bezüglich einer geeigneten Wahl einer Basis X von V (f ist Endomorphismus von V nach V) folgende Form:
A = [mm] \begin{pmatrix}
B & C \\
D & E
\end{pmatrix}
[/mm]
Also eine Blockmatrix (B und E sind quadratische Matrizen)
Na und E ist genau die Matrix die g beschreibt (bezüglich der selben Basis, nur jezt einen kleinen Teil; den hinteren). Also kann man doch g irgendwie als eine Einschränkung von f bezeichnen und dann folgt ja gleich die Behauptung. Oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Monster-Modul,
> Nun ich habe noch folgendes festgestellt: Die Matrix A, die
> f beschreibt, hat bezüglich einer geeigneten Wahl einer
> Basis X von V (f ist Endomorphismus von V nach V) folgende
> Form:
>
> A = [mm]\begin{pmatrix}
B & C \\
D & E
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> Also eine Blockmatrix (B und E sind quadratische
> Matrizen)
> Na und E ist genau die Matrix die g beschreibt (bezüglich
> der selben Basis, nur jezt einen kleinen Teil; den
> hinteren). Also kann man doch g irgendwie als eine
> Einschränkung von f bezeichnen und dann folgt ja gleich die
> Behauptung. Oder?
Das hört sich schon besser an -- jetzt bin ich auf deinen Beweis dafür gespannt 
Viele Grüße,
Marc
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Ok dann wollen wir mal.
Sei znächst X = $ [mm] (v_1,\ldots,v_k,v_{k+1},\ldots,v_n) [/mm] $ unsere Basis zu V.
Sei W das Erzeugnis aus Y = $ [mm] (v_{k+1},\ldots,v_n) [/mm] $ Also brachten wir jetzt den hinteren Teil unserer Matrix A = $ [mm] \begin{pmatrix} B & C \\ D & E \end{pmatrix} [/mm] $
,die $ f: V [mm] \rightarrow [/mm] V $ beschreibt
für g gilt ja dann:
$ g: W [mm] \rightarrow [/mm] W $
und wie wir bereits wissen ist E die Matrix, die g beschreibt bezüglich der Basis Y. Da ich leider nichts über C aussagen kann definiere ich g wie folgt:
$ [mm] g(v_i) [/mm] = [mm] f(v_i) [/mm] = [mm] \sum\limits_{j=1}^k \{0} [/mm] * [mm] v_j [/mm] + [mm] \sum\limits_{j=k+1}^n \lambda_j v_j$ [/mm] (ich weiß jetzt nicht warum die Klammer da vor der Null steht)
So kann ich g als Einschränkung von f auf W interpretieren, also:
$ g(w) = f [mm] \left| {W} (w) $
Und von einer Einschränkung wissen wir ja, das das Minimalpolynom von der eingeschränkten Funktion, das Minimalpolynom der nicht eingeschränkten Funktion teilt.
Also fertig, hoffe ich zumindest.
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:25 Sa 03.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Frank!
Also, ich will es noch einmal erklären:
Da $W$ ein invarianter Unterraum von $V$ ist, hat $f$ eine Matrixdarstellung der Art:
[mm] $A=\begin{pmatrix} \* & 0 \\ \* & D \end{pmatrix}$,
[/mm]
wobei $D$ die Matrixdarstellung von $f|W$ ist.
Daraus folgt, dass die Potenzen von $A$, [mm] $A^n$, [/mm] die folgende Gestalt haben:
[mm] $A^n=\begin{pmatrix} \* & 0 \\ \* & D^n \end{pmatrix}$.
[/mm]
Insbesondere gilt: Ist [mm] $MP_A(t)$ [/mm] das Minimalpolynpm von $A$, so gilt: [mm] $MP_A(A)=0$. [/mm] Insbesondere folgt daraus aber, dass auch der Eintrag rechts unten gleich $0$ sein muss, also nach dem gerade Gesehenen:
[mm] $MP_A(D)=0$.
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $MP_D [/mm] \ [mm] \vert\ MP_A$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Monster-Modul,
> ich versuche grade eine Aufgabe zu lösen, die sich mit der
> Teilbarkeit von Minimalpolynomen beschäftigt. Na auf jeden
> Fall habe ich festgestellt, dass das charakteristische
> Polynom von g (also der Funktion g) das charakteristische
> Polynom von f teilt.
>
> Meine Frage ist jetzt: Kann ich daraus schlussfolgern, dass
> das Minimalpolynom von g das Minimalpolynom von f teilt.
>
> Nach meiner Meinung müsste das gehen, denn nach
> Charley-Hamilton gilt ja, dass das Minimalpolynom von g ja
> aus den Primfaktoren vom charakteristischen Polynom von g
> besteht. Also muss das Minimalpolynom von f ja mindestens
> die gleichen Primfaktoren haben. Oder nicht? Und wenn ja,
> wie schreibt man das richtig auf?
Ich denke nicht, dass es diesen Zusammenhang gibt.
Zum Beispiel könnte doch f das charakteristische Polynom [mm] (x-1)^3 [/mm] haben und als Minimalpolynom [mm] (x-1)^1.
[/mm]
g könnte nun das char. Poly. [mm] (x-1)^3 [/mm] haben, aber als Minimalpolynom [mm] (x-1)^2.
[/mm]
Dafür konkrete Matrizen zu finden, dürfte nicht schwierig sein (obwohl ich es während der letzten Minute nicht geschafft habe, welche zu finden  )
Viele Grüße,
Marc
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Ok das stimmt natürlich. Vielen Dank!
Mache mich jetzt mal an meine 2. Idee ran.
Frank
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