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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 So 23.09.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo zusammen
Wieso gilt folgende Gleichung:
[mm] $$\sup_{t\in [0,T]}f(t)=\sup_n\max_{k\in A_n} [/mm] f(k)$$
wobei gilt [mm] $A_n\subset A_{n+1}$ [/mm] und $ [mm] A=\cup_n A_n$ [/mm] wobei [mm] $A=[0,T]\cap \mathbb{Q}$ [/mm] gilt. Wie kann ich die [mm] $A_n$ [/mm] wählen?
Danke und Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 So 23.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo physikus,
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> Wieso gilt folgende Gleichung:
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> [mm]\sup_{t\in [0,T]}f(t)=\sup_n\max_{k\in A_n} f(k)[/mm]
Dies gilt im allgemeinen nicht. Gegenbeispiel: Dirichlet-Funktion.
Die Gleichung gilt aber für stetiges $f$. Zum Beweis nutzt Du neben der Stetigkeit von $f$ aus, daß [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt. OK?
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mo 24.09.2012 | | Autor: | physicus |
Ok, eigentlich sollte $f$ rechtseitig stetig sein. Das genügt. Ein genauer Beweis wäre aber trotzdem wünschenswert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Sei [mm] $\sigma=\sup_{t\in [0,T]}f(t)$ [/mm] und [mm] $\rho =\sup_n\max_{k\in A_n} [/mm] f(k)$. Es ist [mm] $\rho [/mm] = [mm] \sup_{k\in A}f(k)$.
[/mm]
Da $A$ eine Teilmenge von $[0; T]$ ist, ist [mm] $\sigma \ge \rho$.
[/mm]
Aber [mm] $\sigma \le \rho$ [/mm] kann ich für rechtseitig stetiges $f$ nicht zeigen. Und es stimmt auch nicht. Nimm [mm] $T=\sqrt [/mm] 2$, $f(T)=1000$ und $f(t)=t$ für [mm] $t\ne [/mm] T$. Dann ist $f$ rechtseitig stetig, [mm] $\sigma=1000$ [/mm] aber [mm] $\rho [/mm] = [mm] \sqrt [/mm] 2$, egal wie ich die [mm] $A_n$ [/mm] wähle, solange [mm] $A=[0;T]\cap \IQ$ [/mm] ist.
Gruß,
Wolfgang
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