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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Guten Morgen,
ich habe folgende Fragen (bzgl. der Richtigkeit der Aufgaben) zum Supremum und Infimum:
Bestimme das Supremum und das Infimum der folgenden Teilmengen von [mm] \IR [/mm] :
1.) Q= [mm] \{2^{-p} + 3^{-q} + 5^{-r} | p,q,r \in \IN > 0 }
[/mm]
Das Supremum ist bei [mm] \bruch{31}{30} [/mm] . P,q und r müssen größer null sein, somit ist der maximale Wert, den der Term annehmen kann: [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5} [/mm] = [mm] \bruch{31}{30}
[/mm]
Das Infimum liegt bei 0. Setzt man p, q und r ganz groß, so streben die Brüche gegen 0, erreichen sie jedoch nie. Folglich ist die größte untere Schranke 0.
2.) R= [mm] \{x \in \IR | 3x²-10x+3 < 0 }
[/mm]
Das Supremum liegt bei 3. Bei x=3 ist der Term gleich 0 - somit ist x=3 die kleinste obere Schranke.
Das Infimum liegt bei [mm] \bruch{1}{3}. [/mm] Für [mm] x=\bruch{1}{3} [/mm] ist der Term ebenfalls gleich 0. Alle Werte [mm] \le \bruch{1}{3} [/mm] erfüllen die Bedingung zwar nicht, sind jedoch keine größten unteren Schranken, da [mm] \bruch{1}{3} [/mm] Infimum ist.
3.) S= [mm] \{x \in \IR | (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) < 0 }
[/mm]
für gegebene a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] a < b < c < d.
Das Supremum liegt bei d. Wenn x=d gesetzt wird, so ist der Term gleich 0 und da a < b < c < d gilt, ist d das Supremum.
Das Infimum liegt bei a. Wenn x=a gesetzt wird, so ist der Term gleich ß und da a < b < c < d gilt, ist a das Infimum.
Stimmen meine Ergebnisse? Wie genau schreibe ich auf, dass es sich bei den ermittelten Ergebnissen um Suprema bzw. Infima handelt. Was bedeutet in diesem Zusammenhang das Wort "Bestimmen" in der Aufgabenstellung?
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Bei folgenden Aufgaben fehlen mir leider Ansätze und ich weiß nicht genau, wie ich einen Beweis formulieren soll.
1.) Es sei S eine Teilmenge eines vollständig geordneten Körpers K und c eine (die) kleinste obere Schranke von S. Definiere -S = [mm] \{x \in K | es gibt y \in S mit x=-y}.
[/mm]
a) -c ist die größte untere Schranke von -S.
-> Meine Argumentation: c:=sup(S). Somit ist y (y [mm] \in [/mm] S) y [mm] \le [/mm] c. [mm] \gdw [/mm] -y [mm] \ge [/mm] -c und somit x= -y [mm] \ge [/mm] -s [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] -s. Somit ist -c das Infimum von -S.
b) Die eine "Hälfte" des Vollständigkeitsaxioms impliziert die jeweils andere "Hälfte".
2.) Es seien [mm] S_1, S_2 [/mm] nicht leere, nach oben beschränkte Teilmengen von [mm] \IR, S_1 [/mm] + [mm] S_2 [/mm] := {x [mm] \in \IR [/mm] | es gibt [mm] s_1 \in S_1, s_2 \in S_2 [/mm] mit x = [mm] s_1 [/mm] + [mm] s_2}.
[/mm]
[mm] sup(S_1 [/mm] + [mm] S_2) [/mm] = sup [mm] (S_1) [/mm] + sup [mm] (S_2)
[/mm]
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Hallo,
also es wäre interessant zu wissen, wie du deine Ergebnisse herausbekommen hast, sonst kann dir keiner sagen, ob du das richtig gemacht hast. Bestimmen heißt wohl in diesem Fall, die Suprema und Infima ausrechnen. Deswegen wäre eine kurze Erkäuterung vielleicht hilfreich.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Hallo,
habe nun meine Überlegungen im Eingangspost ergänzt. Wäre nett, wenn mir jemand etwas auf die Sprünge helfen könnte!
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Hallo,
also deine Rechnungen im ersten Teil scheinen mir plausibel und auch würdig, sie abzugeben. Zu deinen übrigen Fragen siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
VG mathmetzsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Commotus |
Die PDF-Datei kann leider nicht gefunden werden..
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Hab den Link oben geändert!
VG Daniel
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